Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2087

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2087

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}

Ответ:

2\arctg (\sqrt{e^x-1})+C

Решение

Основная идея решения данной задачи такая же, как и задач 2085 и 2086: нужно найти подходящую замену, чтобы свести подынтегральное выражение к какой-то рациональной или просто какой-то другой более простой функции.

Самое простая мысль - заменить все выражение из знаменателя на новую переменную. Сделаем это:

t = \sqrt{e^x-1}\quad x = \ln|1+t^2|\quad dx = \frac{2t\;dt}{1+t^2}

Подставим в исходный интеграл и получим:

\int \frac{2}{1+t^2}dt

Данный интеграл является табличным:

\int \frac{2}{1+t^2}dt = 2\arctg t+C

Остается только вернуться к переменной

x