Раздел III. Неопределённый интеграл — § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций

Демидович — задача 2108

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы, содержащие функции

\ln f(x)

\arctg f(x)

\arcsin f(x)

\arccos f(x)

, где

f(x)

--- алгебраическая функция:

\displaystyle\int\arcsin\sqrt x\,dx

Ответ:

x \arcsin\sqrt{x}+\frac{\sqrt {x(1-x)}}{2}- \frac{1}{2}\arcsin \sqrt x+C

Формула задаёт первообразную при

0<x<1

и непрерывно продолжается к

x=0

x=1

Решение

Подынтегральная функция определена при

0\leqslant x\leqslant1

. На промежутке

0<x<1

воспользуемся формулой интегрирования по частям, чтобы перейти к интегралу от выражения с радикалами и многочленами:

\int \arcsin\sqrt{x} \, dx = x \arcsin\sqrt{x} - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \, dx

Для решения полученного интеграла можно ввести переменную

t=\sqrt x

, ведь тогда в знаменателе будет выражение, которое потом будем подгонять под арксинус. При замене имеем:

t = \sqrt x,\quad x=t^2\quad\text{и}\quad dx=2t\;dt

Подставим в интеграл и получим:

\int \frac{2t^2\;dt}{\sqrt{1-t^2}}

С таким интегралом уже имели дело в номере 2107. Используя результаты того номера, получаем:

\int \frac{2t^2\;dt}{\sqrt{1-t^2}} = -t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t+C

Сделаем обратную замену и запишем полученный ответ.