Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1870

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1870

∫x4x4+5x2+4 dx\displaystyle\int\frac{x^4}{x^4+5x^2+4}\,dx.
Ответ:x+13arctg⁡x−83arctg⁡x2+Cx+\dfrac{1}{3}\arctg x
-\dfrac{8}{3}\arctg\dfrac{x}{2}+C

Решение

Знаменатель раскладывается на множители:x4+5x2+4=(x2+1)(x2+4)x^4+5x^2+4=(x^2+1)(x^2+4)После выделения целой части имеемx4x4+5x2+4=1−5x2+4(x2+1)(x2+4)\dfrac{x^4}{x^4+5x^2+4}
=1-\dfrac{5x^2+4}{(x^2+1)(x^2+4)}Ищем разложение5x2+4(x2+1)(x2+4)=Ax2+1+Bx2+4\dfrac{5x^2+4}{(x^2+1)(x^2+4)}
=\dfrac{A}{x^2+1}+\dfrac{B}{x^2+4}Сравнение коэффициентов даётA+B=5,4A+B=4A+B=5,
\qquad
4A+B=4Вычитая первое равенство из второго, получаем3A=−1,A=−13,B=5−A=1633A=-1,
\qquad
A=-\dfrac{1}{3},
\qquad
B=5-A=\dfrac{16}{3}Следовательно,x4x4+5x2+4=1+13(x2+1)−163(x2+4)\dfrac{x^4}{x^4+5x^2+4}
=1+\dfrac{1}{3(x^2+1)}-\dfrac{16}{3(x^2+4)}Интегрируя почленно, получаем∫x4x4+5x2+4 dx=x+13arctg⁡x−83arctg⁡x2+C\int\dfrac{x^4}{x^4+5x^2+4}\,dx
=x+\dfrac{1}{3}\arctg x
-\dfrac{8}{3}\arctg\dfrac{x}{2}+CЗнаменатель положителен при всех действительных xx.
Демидович № 1870 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика