Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1875

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1875

∫dxx5+x4−2x3−2x2+x+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1}.
Ответ:316ln⁡∣x+1x−1∣−18(x−1)−14(x+1)−18(x+1)2+C,x≠−1,x≠1\begin{aligned}
&\dfrac{3}{16}\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|
-\dfrac{1}{8(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+1)}
-\dfrac{1}{8(x+1)^2}+C,
\qquad x\ne-1,\quad x\ne1
\end{aligned}

Решение

Сначала разложим знаменатель на множители:x5+x4−2x3−2x2+x+1=(x+1)(x4−2x2+1)==(x+1)(x2−1)2=(x−1)2(x+1)3\begin{aligned}
x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1
&=(x+1)(x^4-2x^2+1)=\\
&=(x+1)(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^3
\end{aligned}Поэтому разложение на простейшие дроби имеет вид1(x−1)2(x+1)3=Ax−1+B(x−1)2+Cx+1+D(x+1)2+E(x+1)3\begin{aligned}
\dfrac{1}{(x-1)^2(x+1)^3}
&={}\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}
+\dfrac{C}{x+1} +\dfrac{D}{(x+1)^2}+\dfrac{E}{(x+1)^3}
\end{aligned}После умножения на общий знаменатель получаем тождество1=A(x−1)(x+1)3+B(x+1)3+C(x−1)2(x+1)2+D(x−1)2(x+1)+E(x−1)2\begin{aligned}
1={}&A(x-1)(x+1)^3+B(x+1)^3
+C(x-1)^2(x+1)^2+D(x-1)^2(x+1)+E(x-1)^2
\end{aligned}Подставляя x=1x=1 и x=−1x=-1, получаемx=1:1=8B⟹B=18x=−1:1=4E⟹E=14\begin{aligned}
x=1:\quad &1=8B
\quad\Longrightarrow\quad B=\dfrac18\\
x=-1:\quad &1=4E
\quad\Longrightarrow\quad E=\dfrac14
\end{aligned}После подстановки BB и EE сравнение коэффициентов даёт систему{A+C=02A+D+18=0−2C−D+58=0\begin{cases}
A+C=0\\[0.5ex]
2A+D+\dfrac18=0\\[0.5ex]
-2C-D+\dfrac58=0
\end{cases}Из первых двух уравнений имеемC=−A,D=−18−2AC=-A,
\qquad
D=-\dfrac18-2AПодставим эти выражения в третье уравнение:2A−(−18−2A)+58=04A+34=0⟹A=−316\begin{aligned}
2A-\left(-\dfrac18-2A\right)+\dfrac58=0\\
4A+\dfrac34=0
\quad\Longrightarrow\quad
A=-\dfrac{3}{16}
\end{aligned}Тогда C=316C=\dfrac{3}{16}, D=14D=\dfrac14. Подставляя найденные коэффициенты в разложение, получаем1(x−1)2(x+1)3=−316(x−1)+18(x−1)2+316(x+1)+14(x+1)2+14(x+1)3\begin{aligned}
\dfrac{1}{(x-1)^2(x+1)^3}
&=-\dfrac{3}{16(x-1)}+\dfrac{1}{8(x-1)^2}
+\dfrac{3}{16(x+1)} +\dfrac{1}{4(x+1)^2}+\dfrac{1}{4(x+1)^3}
\end{aligned}Интегрируя почленно и объединяя логарифмы, находим∫dxx5+x4−2x3−2x2+x+1=316ln⁡∣x+1x−1∣−18(x−1)−14(x+1)−18(x+1)2+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1}
&=\dfrac{3}{16}\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|
-\dfrac{1}{8(x-1)} -\dfrac{1}{4(x+1)}
-\dfrac{1}{8(x+1)^2}+C
\end{aligned}
Демидович № 1875 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика