Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1914

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1914

∫dxx(x10+1)2\displaystyle\int\frac{dx}{x(x^{10}+1)^2}.
Ответ:110ln⁡x10x10+1+110(x10+1)+C,x≠0\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{x^{10}}{x^{10}+1}
+\dfrac{1}{10(x^{10}+1)}+C,
\qquad x\ne0На промежутках (−∞;0)(-\infty;0) и (0;+∞)(0;+\infty) постоянные интегрирования могут быть различными.

Решение

Подынтегральная функция определена при x≠0x\ne0. Положимt=x10,dtt=10dxxt=x^{10},
\qquad
\dfrac{dt}{t}=10\dfrac{dx}{x}Получаем∫dxx(x10+1)2=110∫dtt(t+1)2\int\dfrac{dx}{x(x^{10}+1)^2}
=\dfrac{1}{10}\int\dfrac{dt}{t(t+1)^2}Ищем разложение на простейшие дроби в виде1t(t+1)2=At+Bt+1+C(t+1)2\dfrac{1}{t(t+1)^2}
=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+1}+\dfrac{C}{(t+1)^2}После умножения на t(t+1)2t(t+1)^2 получаем1=A(t+1)2+Bt(t+1)+Ct1=A(t+1)^2+Bt(t+1)+CtПодстановка t=0t=0 и сравнение коэффициентов даютA=1,A+B=0,2A+B+C=0A=1,
\qquad
A+B=0,
\qquad
2A+B+C=0то есть A=1A=1, B=−1B=-1, C=−1C=-1. Следовательно,1t(t+1)2=1t−1t+1−1(t+1)2\dfrac{1}{t(t+1)^2}
=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{1}{(t+1)^2}Поэтому∫dxx(x10+1)2=110(ln⁡∣t∣−ln⁡∣t+1∣+1t+1)+C==110ln⁡x10x10+1+110(x10+1)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x(x^{10}+1)^2}
&=\dfrac{1}{10}\left(
\ln|t|-\ln|t+1|+\dfrac{1}{t+1}
\right)+C=\\
&=\dfrac{1}{10}\ln\dfrac{x^{10}}{x^{10}+1}
+\dfrac{1}{10(x^{10}+1)}+C
\end{aligned}При x≠0x\ne0 аргумент логарифма положителен.
Демидович № 1914 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика