Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1898

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Выделить алгебраическую часть следующих интегралов:

Задача 1898

\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x^4+x^2+1)^2}\,dx

Ответ:

R(x)=\dfrac{x^3+2x}{6(x^4+x^2+1)}

Решение

Обозначим

q=x^4+x^2+1

Поскольку

q>0

при всех действительных

x

, область определения есть

\mathbb R

. Проверим, что

q

не имеет кратных корней. Имеем

q'=4x^3+2x=2x(2x^2+1)

Если число

r

является общим корнем

q

q'

, то либо

r=0

, либо

r^2=-\dfrac{1}{2}

. Но

q(0)=1\ne0, \qquad q(r)=r^4+r^2+1 =\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+1 =\dfrac{3}{4}\ne0

Следовательно,

\gcd(q,q')=1

. Подынтегральная функция чётная, поэтому рациональную часть первообразной можно искать нечётной, а числитель остаточной дроби~--- чётным. По методу Остроградского положим

\dfrac{x^2+1}{q^2} =\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{Ax^3+Bx}{q}\right) +\dfrac{Cx^2+D}{q}

После умножения на

q^2

получаем

x^2+1=\bigl((Ax^3+Bx)'q-(Ax^3+Bx)q'\bigr) +(Cx^2+D)q

Раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты, получаем систему

\begin{cases} B+D=1\\ 3A-B+C+D=1\\ A-3B+C+D=0\\ -A+C=0\end{cases}

Из последнего и первого уравнений имеем

C=A

D=1-B

. После подстановки во второе и третье уравнения получаем

4A-2B=0, \qquad 2A-4B+1=0

Из первого равенства

B=2A

. Подстановка во второе даёт

-6A+1=0

, поэтому

A=\dfrac{1}{6}, \qquad B=\dfrac{1}{3}, \qquad C=\dfrac{1}{6}, \qquad D=\dfrac{2}{3}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^2+1}{(x^4+x^2+1)^2}\,dx &=\dfrac{x^3+2x}{6(x^4+x^2+1)}+\int\dfrac{x^2+4}{6(x^4+x^2+1)}\,dx\end{aligned}

Поэтому алгебраическая часть равна

R(x)=\dfrac{x^3+2x}{6(x^4+x^2+1)}