Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1891

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод Остроградского, найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x-1)^2(x+1)^3}

Ответ:

-\dfrac{1}{8(x-1)} +\dfrac{1}{8(x+1)^2} +\dfrac{1}{16}\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|+C, \qquad x\ne\pm1

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne-1

x\ne1

. По методу Остроградского представим её в виде производной рациональной функции и дробей с простыми множителями в знаменателях:

\begin{aligned} \dfrac{x}{(x-1)^2(x+1)^3} &=\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{A}{x-1} +\dfrac{B}{x+1} +\dfrac{C}{(x+1)^2} \right)+\dfrac{D}{x-1}+\dfrac{E}{x+1}\end{aligned}

После умножения на

(x-1)^2(x+1)^3

получаем тождество

\begin{aligned} x={}&-A(x+1)^3-B(x-1)^2(x+1)-2C(x-1)^2+D(x-1)(x+1)^3+E(x-1)^2(x+1)^2\end{aligned}

Раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

x

, получаем систему

\begin{cases} -A-B-2C-D+E=0\\ -3A+B+4C-2D=1\\ -3A+B-2C-2E=0\\ -A-B+2D=0\\ D+E=0\end{cases}

Из последнего и предпоследнего уравнений имеем

E=-D

A+B=2D

. Первое уравнение тогда даёт

C=-2D

, а третье~---

A=2D

B=0

. Подставляя это во второе уравнение, получаем

-16D=1

. Следовательно,

A=-\dfrac{1}{8}, \qquad B=0, \qquad C=\dfrac{1}{8}, \qquad D=-\dfrac{1}{16}, \qquad E=\dfrac{1}{16}

Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac{x}{(x-1)^2(x+1)^3} &=\dfrac{d}{dx}\left( -\dfrac{1}{8(x-1)} +\dfrac{1}{8(x+1)^2} \right)-\dfrac{1}{16(x-1)} +\dfrac{1}{16(x+1)}\end{aligned}

Интегрируя, находим

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{(x-1)^2(x+1)^3} &=-\dfrac{1}{8(x-1)} +\dfrac{1}{8(x+1)^2}+\dfrac{1}{16} \ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|+C\end{aligned}