Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1913

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x(x^{10}+2)}

Ответ:

\dfrac{1}{20}\ln\dfrac{x^{10}}{x^{10}+2}+C, \qquad x\ne0

На промежутках

(-\infty;0)

(0;+\infty)

постоянные интегрирования могут быть различными.

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne0

. Положим

t=x^{10}, \qquad \dfrac{dt}{t}=10\dfrac{dx}{x}

Тогда

\dfrac{1}{t(t+2)} =\dfrac12\left(\dfrac1t-\dfrac1{t+2}\right)

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x(x^{10}+2)} &=\dfrac{1}{10}\int\dfrac{dt}{t(t+2)} =\dfrac{1}{20}\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+2}\right)dt=\\ &=\dfrac{1}{20}\ln\left|\dfrac{t}{t+2}\right|+C =\dfrac{1}{20}\ln\dfrac{x^{10}}{x^{10}+2}+C\end{aligned}

В последней записи модуль не требуется, поскольку при

x\ne0

дробь положительна.