Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1893

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод Остроградского, найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+1)^3}

Ответ:

\dfrac{x}{4(x^2+1)^2} +\dfrac{3x}{8(x^2+1)} +\dfrac{3}{8}\arctg x+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Поскольку

x^2+1>0

при всех действительных

x

, область определения есть

\mathbb R

. Обозначим

q=x^2+1

. Подынтегральная функция чётная, поэтому рациональную часть первообразной можно искать в нечётном виде. По методу Остроградского положим

\dfrac{1}{q^3} =\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{Ax}{q^2}+\dfrac{Bx}{q} \right)+\dfrac{C}{q}

После умножения на

q^3

получаем тождество

1=A(1-3x^2)+B(1-x^4)+C(x^2+1)^2

Сравнивая коэффициенты при

1

x^2

x^4

, получаем систему

\begin{cases} A+B+C=1\\ -3A+2C=0\\ -B+C=0\end{cases}

Из третьего уравнения

B=C

, а из второго

C=\dfrac{3}{2}A

. Подставляя эти равенства в первое уравнение, получаем

4A=1

. Следовательно,

A=\dfrac{1}{4}, \qquad B=\dfrac{3}{8}, \qquad C=\dfrac{3}{8}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x^2+1)^3} &=\dfrac{x}{4(x^2+1)^2} +\dfrac{3x}{8(x^2+1)} +\dfrac{3}{8}\int\dfrac{dx}{x^2+1}=\\ &=\dfrac{x}{4(x^2+1)^2} +\dfrac{3x}{8(x^2+1)} +\dfrac{3}{8}\arctg x+C\end{aligned}