Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1884

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x^4+1}

Ответ:

\dfrac{1}{4\sqrt2} \ln\dfrac{x^2+\sqrt2x+1}{x^2-\sqrt2x+1} +\dfrac{1}{2\sqrt2} \left( \arctg(\sqrt2x+1)+\arctg(\sqrt2x-1) \right)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Разложим знаменатель на квадратные множители:

x^4+1 =(x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1)

Оба множителя положительны при всех

x\in\mathbb R

. Ищем разложение

\dfrac{1}{x^4+1} =\dfrac{Ax+B}{x^2+\sqrt2x+1} +\dfrac{Cx+D}{x^2-\sqrt2x+1}

После умножения на

x^4+1

получаем тождество

\begin{aligned} 1 &=(Ax+B)(x^2-\sqrt2x+1)+(Cx+D)(x^2+\sqrt2x+1)\end{aligned}

После раскрытия скобок сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

x

\begin{cases} A+C=0\\ -\sqrt2A+B+\sqrt2C+D=0\\ A-\sqrt2B+C+\sqrt2D=0\\ B+D=1\end{cases}

Из первого и последнего уравнений имеем

C=-A

D=1-B

. Подставляя их во второе и третье уравнения, получаем

B=\dfrac{1}{2}, \qquad A=\dfrac{1}{2\sqrt2}

Поэтому

A=\dfrac{1}{2\sqrt2}, \qquad B=\dfrac{1}{2}, \qquad C=-\dfrac{1}{2\sqrt2}, \qquad D=\dfrac{1}{2}

Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac{1}{x^4+1} &=\dfrac{\dfrac{x}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}} {x^2+\sqrt2x+1} +\dfrac{-\dfrac{x}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}} {x^2-\sqrt2x+1}\end{aligned}

Дополняя квадраты,

x^2\pm\sqrt2x+1 =\left(x\pm\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2+\dfrac{1}{2}

В числителях выделим производные знаменателей:

\begin{aligned} \dfrac{x}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2} &=\dfrac{1}{4\sqrt2}(2x+\sqrt2) +\dfrac{1}{4}\\ -\dfrac{x}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2} &=-\dfrac{1}{4\sqrt2}(2x-\sqrt2) +\dfrac{1}{4}\end{aligned}

Теперь интегрируем каждую дробь:

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^4+1} &=\dfrac{1}{4\sqrt2} \ln\dfrac{x^2+\sqrt2x+1}{x^2-\sqrt2x+1}+\dfrac{1}{2\sqrt2} \left( \arctg(\sqrt2x+1) +\arctg(\sqrt2x-1) \right)+C\end{aligned}

Полученная формула определена на всей вещественной прямой.