Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1915

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{1-x^7}{x(1+x^7)}\,dx

Ответ:

\ln|x|-\dfrac{2}{7}\ln|1+x^7|+C, \qquad x\ne0, \quad x\ne-1

На каждом из трёх промежутков области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию:

\dfrac{1-x^7}{x(1+x^7)} =\dfrac{1+x^7-2x^7}{x(1+x^7)} =\dfrac{1}{x}-\dfrac{2x^6}{1+x^7}

Теперь оба слагаемых интегрируются непосредственно:

\begin{aligned} \int\dfrac{1-x^7}{x(1+x^7)}\,dx &=\int\dfrac{dx}{x}-2\int\dfrac{x^6\,dx}{1+x^7}=\\ &=\ln|x|-\dfrac{2}{7}\ln|1+x^7|+C\end{aligned}

Исходная функция не определена при

x=0

x=-1