Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1899

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Выделить алгебраическую часть следующих интегралов:

Задача 1899

∫dx(x3+x+1)3\displaystyle\int\frac{dx}{(x^3+x+1)^3}.
Ответ:R(x)=−6x2+9x−462(x3+x+1)2+−486x2+357x−3241922(x3+x+1),x3+x+1≠0R(x)=\dfrac{-6x^2+9x-4}{62(x^3+x+1)^2}
+\dfrac{-486x^2+357x-324}{1922(x^3+x+1)},
\qquad x^3+x+1\ne0

Решение

Положимq=x3+x+1,q′=3x2+1q=x^3+x+1,
\qquad
q'=3x^2+1Подынтегральная функция определена при q≠0q\ne0. Проверим, что qq не имеет кратных корней. Пусть rr является общим корнем qq и q′q'. Тогда3r2+1=0,r3=−r33r^2+1=0,
\qquad
r^3=-\dfrac{r}{3}Из равенства q(r)=0q(r)=0 следует−r3+r+1=0,r=−32-\dfrac{r}{3}+r+1=0,
\qquad
r=-\dfrac{3}{2}Ноq′(−32)=3(−32)2+1=314≠0q'\left(-\dfrac{3}{2}\right)
=3\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+1
=\dfrac{31}{4}\ne0Получили противоречие, поэтому gcd⁡(q,q′)=1\gcd(q,q')=1. Это означает, что множитель qq не имеет повторяющихся корней и к дроби можно применить стандартную схему метода Остроградского.

Будем действовать в три этапа: представим дробь как производную рациональной функции и остаточную дробь со знаменателем qq, составим систему для коэффициентов, а затем выделим требуемую алгебраическую часть. Поскольку deg⁡q=3\deg q=3, числители UU, VV и WW можно брать степени не выше второй: более высокие степени после деления на qq свелись бы к тому же виду. ПоложимU=u2x2+u1x+u0,V=v2x2+v1x+v0,W=w2x2+w1x+w0\begin{aligned}
U&=u_2x^2+u_1x+u_0,\\
V&=v_2x^2+v_1x+v_0,\\
W&=w_2x^2+w_1x+w_0
\end{aligned}и ищем эти многочлены так, чтобы1q3=ddx(Uq2+Vq)+Wq\dfrac{1}{q^3}
=\dfrac{d}{dx}\left(
\dfrac{U}{q^2}+\dfrac{V}{q}
\right)+\dfrac{W}{q}После умножения на q3q^3 получаем тождество1=U′q−2Uq′+(V′q−Vq′)q+Wq21=U'q-2Uq'+(V'q-Vq')q+Wq^2Раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты при степенях xx от нулевой до восьмой, получаем систему{u1−2u0+v1−v0+w0=12u2−u1+2v2+v1−v0+w1+2w0=0−6u0+3v2−3v0+w2+2w1+w0=0−5u1+v2−v1−4v0+2w2+w1+2w0=0−4u2+v2−2v1+w2+2w1+2w0=0−3v0+2w2+2w1=0−2v1+2w2+w0=0−v2+w1=0w2=0\begin{cases}
u_1-2u_0+v_1-v_0+w_0=1\\
2u_2-u_1+2v_2+v_1-v_0+w_1+2w_0=0\\
-6u_0+3v_2-3v_0+w_2+2w_1+w_0=0\\
-5u_1+v_2-v_1-4v_0+2w_2+w_1+2w_0=0\\
-4u_2+v_2-2v_1+w_2+2w_1+2w_0=0\\
-3v_0+2w_2+2w_1=0\\
-2v_1+2w_2+w_0=0\\
-v_2+w_1=0\\
w_2=0
\end{cases}Систему удобно решать снизу вверх. Последние четыре уравнения сначала выражают коэффициенты WW через коэффициенты VV:w2=0,w1=v2,v0=23v2,w0=2v1w_2=0,
\qquad
w_1=v_2,
\qquad
v_0=\dfrac{2}{3}v_2,
\qquad
w_0=2v_1После подстановки этих значений в первые пять уравнений остаётся система{u1−2u0+3v1−23v2=12u2−u1+5v1+73v2=0−6u0+2v1+3v2=0−5u1+3v1−23v2=0−4u2+2v1+3v2=0\begin{cases}
u_1-2u_0+3v_1-\dfrac{2}{3}v_2=1\\
2u_2-u_1+5v_1+\dfrac{7}{3}v_2=0\\
-6u_0+2v_1+3v_2=0\\
-5u_1+3v_1-\dfrac{2}{3}v_2=0\\
-4u_2+2v_1+3v_2=0
\end{cases}Последние три уравнения этой системы выражают коэффициенты UU через v1v_1 и v2v_2:u0=v13+v22,u1=3v15−2v215,u2=v12+3v24u_0=\dfrac{v_1}{3}+\dfrac{v_2}{2},
\qquad
u_1=\dfrac{3v_1}{5}-\dfrac{2v_2}{15},
\qquad
u_2=\dfrac{v_1}{2}+\dfrac{3v_2}{4}Подставляя найденные выражения в первые два уравнения, получаем уже только два уравнения для v1v_1 и v2v_2:{44v1−27v2=15162v1+119v2=0\begin{cases}
44v_1-27v_2=15\\
162v_1+119v_2=0
\end{cases}Умножим первое уравнение на 8181, а второе~--- на 2222:3564v1−2187v2=1215,3564v1+2618v2=0\begin{aligned}
3564v_1-2187v_2&=1215,\\
3564v_1+2618v_2&=0
\end{aligned}Вычитая первое равенство из второго, получаем4805v2=−1215,v2=−2439614805v_2=-1215,
\qquad
v_2=-\dfrac{243}{961}Из второго уравнения последней системы следуетv1=−119162v2=3571922v_1=-\dfrac{119}{162}v_2
=\dfrac{357}{1922}Возвращаясь к найденным выражениям для остальных коэффициентов, получаемu2=−331,u1=962,u0=−231,v2=−243961,v1=3571922,v0=−162961,w2=0,w1=−243961,w0=357961\begin{aligned}
&u_2=-\dfrac{3}{31},
\qquad
u_1=\dfrac{9}{62},
\qquad
u_0=-\dfrac{2}{31},\\
&v_2=-\dfrac{243}{961},
\qquad
v_1=\dfrac{357}{1922},
\qquad
v_0=-\dfrac{162}{961},\\
&w_2=0,
\qquad
w_1=-\dfrac{243}{961},
\qquad
w_0=\dfrac{357}{961}
\end{aligned}Подставляя коэффициенты в выбранное представление, получаемU=−6x2+9x−462,V=−486x2+357x−3241922,W=357−243x961\begin{aligned}
U&=\dfrac{-6x^2+9x-4}{62},\\
V&=\dfrac{-486x^2+357x-324}{1922},\\
W&=\dfrac{357-243x}{961}
\end{aligned}Следовательно,∫dx(x3+x+1)3=−6x2+9x−462(x3+x+1)2+−486x2+357x−3241922(x3+x+1)+∫357−243x961(x3+x+1) dx\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x^3+x+1)^3}
&=\dfrac{-6x^2+9x-4}{62(x^3+x+1)^2}+\dfrac{-486x^2+357x-324}{1922(x^3+x+1)}+\int\dfrac{357-243x}{961(x^3+x+1)}\,dx
\end{aligned}Значит, алгебраическая часть интеграла имеет видR(x)=−6x2+9x−462(x3+x+1)2+−486x2+357x−3241922(x3+x+1)R(x)=\dfrac{-6x^2+9x-4}{62(x^3+x+1)^2}
+\dfrac{-486x^2+357x-324}{1922(x^3+x+1)}
Демидович № 1899 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика