Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1886

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x^6+1}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{1}{3}\arctg x +\dfrac{\sqrt3}{12} \ln\dfrac{x^2+\sqrt3x+1}{x^2-\sqrt3x+1}+\dfrac{1}{6} \left( \arctg(2x+\sqrt3)+\arctg(2x-\sqrt3) \right)+C, \qquad x\in\mathbb R\end{aligned}

Решение

Сначала разложим знаменатель:

x^6+1 =(x^2+1)(x^4-x^2+1)

При этом

x^4-x^2+1 =(x^2+\sqrt3x+1)(x^2-\sqrt3x+1)

Все три квадратных множителя положительны при

x\in\mathbb R

. Поскольку исходная дробь является чётной функцией, разложение удобно искать в симметричном виде

\dfrac{1}{x^6+1} =\dfrac{A}{x^2+1} +\dfrac{Bx+C}{x^2+\sqrt3x+1} +\dfrac{-Bx+C}{x^2-\sqrt3x+1}

После умножения на

x^6+1

и сравнения коэффициентов получаем систему

A-2\sqrt3B+2C=0, \qquad -A-2\sqrt3B+4C=0, \qquad A+2C=1

Вычтем первое уравнение из второго: получаем

-2A+2C=0

, то есть

C=A

. Тогда третье уравнение принимает вид

3A=1

, а первое даёт

2\sqrt3B=A+2C=1

. Поэтому

A=\dfrac{1}{3}, \qquad B=\dfrac{1}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}, \qquad C=\dfrac{1}{3}

Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{1}{x^6+1} &=\dfrac{1}{3(x^2+1)} +\dfrac{\sqrt3x+2}{6(x^2+\sqrt3x+1)}+\dfrac{2-\sqrt3x}{6(x^2-\sqrt3x+1)}\end{aligned}

Квадратные трёхчлены представим в виде

x^2\pm\sqrt3x+1 =\left(x\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}

Числители двух последних дробей представим так:

\begin{aligned} \dfrac{\sqrt3x+2}{6} &=\dfrac{\sqrt3}{12}(2x+\sqrt3) +\dfrac{1}{12}\\ \dfrac{2-\sqrt3x}{6} &=-\dfrac{\sqrt3}{12}(2x-\sqrt3) +\dfrac{1}{12}\end{aligned}

Кроме того,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^2+\sqrt3x+1} &=2\arctg(2x+\sqrt3)+C\\ \int\dfrac{dx}{x^2-\sqrt3x+1} &=2\arctg(2x-\sqrt3)+C\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^6+1} &=\dfrac{1}{3}\arctg x +\dfrac{\sqrt3}{12} \ln\dfrac{x^2+\sqrt3x+1}{x^2-\sqrt3x+1}+\dfrac{1}{6} \left( \arctg(2x+\sqrt3) +\arctg(2x-\sqrt3) \right)+C\end{aligned}