Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1881

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x^3+1}

Ответ:

\dfrac{1}{3}\ln|x+1| -\dfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1) +\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C, \qquad x\ne-1

На двух промежутках области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Разложим знаменатель на множители:

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

Подынтегральная функция определена при

x\ne-1

. Ищем разложение в виде

\dfrac{1}{x^3+1} =\dfrac{A}{x+1} +\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1}

Умножая равенство на

(x+1)(x^2-x+1)

, получаем

1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)

Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях

x

даёт

A+B=0, \qquad -A+B+C=0, \qquad A+C=1

Отсюда

A=\dfrac{1}{3}, \qquad B=-\dfrac{1}{3}, \qquad C=\dfrac{2}{3}

Следовательно,

\dfrac{1}{x^3+1} =\dfrac{1}{3(x+1)} +\dfrac{-x+2}{3(x^2-x+1)}

Во второй дроби выделим производную знаменателя:

\dfrac{-x+2}{3(x^2-x+1)} =-\dfrac{1}{6}\dfrac{2x-1}{x^2-x+1} +\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2-x+1}

Поскольку

x^2-x+1 =\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^3+1} &=\dfrac{1}{3}\ln|x+1| -\dfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\dfrac{1}{\sqrt3} \arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C\end{aligned}

На промежутках

(-\infty,-1)

(-1,+\infty)

постоянная интегрирования выбирается независимо.