Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1888

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1888

∫dxx5−x4+x3−x2+x−1\displaystyle\int\frac{dx}{x^5-x^4+x^3-x^2+x-1}.
Ответ:13ln⁡∣x−1∣−16ln⁡(x2+x+1)−13arctg⁡2x−13+C,x≠1\dfrac{1}{3}\ln|x-1|
-\dfrac{1}{6}\ln(x^2+x+1)
-\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C,
\qquad
x\ne1На двух промежутках области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Знаменатель раскладывается на множители:x5−x4+x3−x2+x−1=(x−1)(x4+x2+1)==(x−1)(x2+x+1)(x2−x+1)\begin{aligned}
x^5-x^4+x^3-x^2+x-1
&=(x-1)(x^4+x^2+1)=\\
&=(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)
\end{aligned}Поэтому подынтегральная функция определена при x≠1x\ne1. Ищем разложение в виде1(x−1)(x2+x+1)(x2−x+1)=Ax−1+Bx+Cx2+x+1+Dx+Ex2−x+1\dfrac{1}{(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)}
=\dfrac{A}{x-1}
+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+1}
+\dfrac{Dx+E}{x^2-x+1}После умножения на общий знаменатель получаем1=A(x2+x+1)(x2−x+1)+(Bx+C)(x−1)(x2−x+1)+(Dx+E)(x−1)(x2+x+1)\begin{aligned}
1
&=A(x^2+x+1)(x^2-x+1)+(Bx+C)(x-1)(x^2-x+1)+(Dx+E)(x-1)(x^2+x+1)
\end{aligned}Сравнивая коэффициенты при степенях xx от четвёртой до нулевой, получаем{A+B+D=0−2B+C+E=0A+2B−2C=0−B+2C−D=0A−C−E=1\begin{cases}
A+B+D=0\\
-2B+C+E=0\\
A+2B-2C=0\\
-B+2C-D=0\\
A-C-E=1
\end{cases}Подстановка x=1x=1 в исходное тождество даёт 1=3A1=3A, откуда A=13A=\frac13. Из первого и третьего уравнений системы получаемD=−13−B,C=16+BD=-\dfrac13-B,
\qquad
C=\dfrac16+BЧетвёртое уравнение теперь даёт 2B+23=02B+\frac23=0, то есть B=−13B=-\frac13. Из второго E=2B−C=−12E=2B-C=-\frac12. Таким образом,A=13,B=−13,C=−16,D=0,E=−12A=\dfrac{1}{3},
\qquad
B=-\dfrac{1}{3},
\qquad
C=-\dfrac{1}{6},
\qquad
D=0,
\qquad
E=-\dfrac{1}{2}Следовательно,1x5−x4+x3−x2+x−1=13(x−1)−2x+16(x2+x+1)−12(x2−x+1)\dfrac{1}{x^5-x^4+x^3-x^2+x-1}
=\dfrac{1}{3(x-1)}
-\dfrac{2x+1}{6(x^2+x+1)}
-\dfrac{1}{2(x^2-x+1)}Поскольку 2x+12x+1 является производной первого квадратного трёхчлена, аx2−x+1=(x−12)2+34x^2-x+1
=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}получаем∫dxx5−x4+x3−x2+x−1=13ln⁡∣x−1∣−16ln⁡(x2+x+1)−13arctg⁡2x−13+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x^5-x^4+x^3-x^2+x-1}
&=\dfrac{1}{3}\ln|x-1|
-\dfrac{1}{6}\ln(x^2+x+1)-\dfrac{1}{\sqrt3}
\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C
\end{aligned}На промежутках (−∞,1)(-\infty,1) и (1,+∞)(1,+\infty) постоянная интегрирования выбирается независимо.
Демидович № 1888 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика