Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1874

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1874

∫dx(x+1)(x+2)2(x+3)3\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}.
Ответ:18ln⁡∣x+1∣+2ln⁡∣x+2∣−178ln⁡∣x+3∣+1x+2+54(x+3)+14(x+3)2+C,x∉{−1,−2,−3}\begin{aligned}
&\dfrac18\ln|x+1|+2\ln|x+2|
-\dfrac{17}{8}\ln|x+3| +\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{5}{4(x+3)}
+\dfrac{1}{4(x+3)^2}+C,
\qquad x\notin\{-1,-2,-3\}
\end{aligned}

Решение

В знаменателе имеются три линейных множителя разной кратности.
Поэтому ищем разложение в виде1(x+1)(x+2)2(x+3)3=Ax+1+Bx+2+C(x+2)2+Dx+3+E(x+3)2+F(x+3)3\begin{aligned}
\dfrac{1}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}
&={}\dfrac{A}{x+1}
+\dfrac{B}{x+2}
+\dfrac{C}{(x+2)^2}
+\dfrac{D}{x+3}
+\dfrac{E}{(x+3)^2}
+\dfrac{F}{(x+3)^3}
\end{aligned}Умножим равенство на общий знаменатель. Получим тождество1=A(x+2)2(x+3)3+B(x+1)(x+2)(x+3)3++C(x+1)(x+3)3+D(x+1)(x+2)2(x+3)2++E(x+1)(x+2)2(x+3)+F(x+1)(x+2)2\begin{aligned}
1
&={}A(x+2)^2(x+3)^3
+B(x+1)(x+2)(x+3)^3+\\
&\quad
+C(x+1)(x+3)^3
+D(x+1)(x+2)^2(x+3)^2+\\
&\quad
+E(x+1)(x+2)^2(x+3)
+F(x+1)(x+2)^2
\end{aligned}Сначала подставим корни знаменателя:x=−1:1=8A⟹A=18x=−2:1=−C⟹C=−1x=−3:1=−2F⟹F=−12\begin{aligned}
x=-1:\quad
&1=8A
\quad\Longrightarrow\quad
A=\dfrac18\\[1ex]
x=-2:\quad
&1=-C
\quad\Longrightarrow\quad
C=-1\\[1ex]
x=-3:\quad
&1=-2F
\quad\Longrightarrow\quad
F=-\dfrac12
\end{aligned}После подстановки найденных значений сравнение коэффициентов
при x5x^5, x4x^4 и x3x^3 даёт систему{B+D=−1812B+11D+E=−5856B+47D+8E=178\left\{
\begin{aligned}
B+D
=-\dfrac18\\[1.5ex]
12B+11D+E
&=-\dfrac58\\[1.5ex]
56B+47D+8E
&=\dfrac{17}{8}
\end{aligned}
\right.Из первых двух уравнений выражаемD=−18−B,E=34−BD=-\dfrac18-B,
\qquad
E=\dfrac34-BПодставляя эти выражения в третье уравнение, получаемB+18=178⟹B=2B+\dfrac18=\dfrac{17}{8}
\quad\Longrightarrow\quad
B=2Следовательно,D=−178,E=−54D=-\dfrac{17}{8},
\qquad
E=-\dfrac54Подставляя найденные коэффициенты в разложение, получаем1(x+1)(x+2)2(x+3)3=18(x+1)+2x+2−1(x+2)2−−178(x+3)−54(x+3)2−12(x+3)3\begin{aligned}
\dfrac{1}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}
&={}\dfrac{1}{8(x+1)}
+\dfrac{2}{x+2}
-\dfrac{1}{(x+2)^2}-
-\dfrac{17}{8(x+3)}
-\dfrac{5}{4(x+3)^2}
-\dfrac{1}{2(x+3)^3}
\end{aligned}Интегрируя почленно, получаем∫dx(x+1)(x+2)2(x+3)3=18ln⁡∣x+1∣+2ln⁡∣x+2∣+1x+2−−178ln⁡∣x+3∣+54(x+3)+14(x+3)2+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x+1)(x+2)^2(x+3)^3}
&={}\dfrac18\ln|x+1|
+2\ln|x+2|
+\dfrac{1}{x+2}-
-\dfrac{17}{8}\ln|x+3|
+\dfrac{5}{4(x+3)}
+\dfrac{1}{4(x+3)^2}+C
\end{aligned}
Демидович № 1874 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика