Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1897

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод Остроградского, найти интегралы:

Задача 1897

∫dx(x4−1)3\displaystyle\int\frac{dx}{(x^4-1)^3}.
Ответ:−x8(x4−1)2+7x32(x4−1)+21128ln⁡∣x−1x+1∣−2164arctg⁡x+C,x≠±1\begin{aligned}
&-\dfrac{x}{8(x^4-1)^2}
+\dfrac{7x}{32(x^4-1)}
+\dfrac{21}{128}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|-\dfrac{21}{64}\arctg x+C,
\qquad x\ne\pm1
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена приx4−1≠0,x≠±1x^4-1\ne0,
\qquad
x\ne\pm1Положим q=x4−1q=x^4-1. Подынтегральная функция чётная, поэтому по методу Остроградского ищем разложение в виде1q3=ddx(Axq2+Bxq)+Cq\dfrac{1}{q^3}
=\dfrac{d}{dx}\left(
\dfrac{Ax}{q^2}+\dfrac{Bx}{q}
\right)+\dfrac{C}{q}После умножения на q3q^3 получаем тождество1=A(−7x4−1)+B(−3x8+2x4+1)+C(x8−2x4+1)1=A(-7x^4-1)+B(-3x^8+2x^4+1)
+C(x^8-2x^4+1)Сравнивая коэффициенты при 11, x4x^4 и x8x^8, получаем систему{−A+B+C=1−7A+2B−2C=0−3B+C=0\begin{cases}
-A+B+C=1\\
-7A+2B-2C=0\\
-3B+C=0
\end{cases}Из третьего уравнения C=3BC=3B. Тогда второе и первое уравнения принимают вид−7A−4B=0,−A+4B=1-7A-4B=0,
\qquad
-A+4B=1Из первого равенства A=−4B7A=-\frac{4B}{7}. Тогда второе даёт 32B7=1\frac{32B}{7}=1, то есть B=732B=\frac{7}{32}. Возвращаясь к AA и C=3BC=3B, находимA=−18,B=732,C=2132A=-\dfrac{1}{8},
\qquad
B=\dfrac{7}{32},
\qquad
C=\dfrac{21}{32}Следовательно,∫dx(x4−1)3=−x8(x4−1)2+7x32(x4−1)+2132∫dxx4−1\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x^4-1)^3}
&=-\dfrac{x}{8(x^4-1)^2}
+\dfrac{7x}{32(x^4-1)}
+\dfrac{21}{32}\int\dfrac{dx}{x^4-1}
\end{aligned}Разложим оставшуюся дробь на простейшие. Ищем1x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+1\dfrac{1}{x^4-1}
=\dfrac{A}{x-1}
+\dfrac{B}{x+1}
+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}После умножения на x4−1x^4-1 получаем1=A(x+1)(x2+1)+B(x−1)(x2+1)+(Cx+D)(x2−1)\begin{aligned}
1={}&A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2-1)
\end{aligned}Сравнение коэффициентов даёт систему{A+B+C=0A−B+D=0A+B−C=0A−B−D=1\begin{cases}
A+B+C=0\\
A-B+D=0\\
A+B-C=0\\
A-B-D=1
\end{cases}Складывая первое и третье уравнения, получаем A+B=0A+B=0, откуда C=0C=0. Из второго уравнения D=B−AD=B-A, а четвёртое тогда даёт 2(A−B)=12(A-B)=1. Следовательно,A=14,B=−14,C=0,D=−12A=\dfrac{1}{4},
\qquad
B=-\dfrac{1}{4},
\qquad
C=0,
\qquad
D=-\dfrac{1}{2}Таким образом,1x4−1=14(x−1)−14(x+1)−12(x2+1)\dfrac{1}{x^4-1}
=\dfrac{1}{4(x-1)}
-\dfrac{1}{4(x+1)}
-\dfrac{1}{2(x^2+1)}Поэтому∫dxx4−1=14ln⁡∣x−1x+1∣−12arctg⁡x+C\int\dfrac{dx}{x^4-1}
=\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|
-\dfrac{1}{2}\arctg x+CОкончательно получаем∫dx(x4−1)3=−x8(x4−1)2+7x32(x4−1)+21128ln⁡∣x−1x+1∣−2164arctg⁡x+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x^4-1)^3}
&=-\dfrac{x}{8(x^4-1)^2}
+\dfrac{7x}{32(x^4-1)}+\dfrac{21}{128}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|
-\dfrac{21}{64}\arctg x+C
\end{aligned}
Демидович № 1897 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика