Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1895

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод Остроградского, найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^4+1)^2}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{x}{4(x^4+1)} +\dfrac{3}{16\sqrt2} \ln\dfrac{x^2+\sqrt2x+1}{x^2-\sqrt2x+1}+\dfrac{3}{8\sqrt2}\left( \arctg(\sqrt2x+1) +\arctg(\sqrt2x-1) \right)+C, \qquad x\in\mathbb R\end{aligned}

Решение

Положим

q=x^4+1

Поскольку

q>0

при всех действительных

x

, область определения есть

\mathbb R

. Подынтегральная функция чётная, поэтому по методу Остроградского ищем разложение в виде

\dfrac{1}{q^2} =\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{Ax^3+Bx}{q}\right) +\dfrac{Cx^2+D}{q}

После умножения на

q^2

получаем

\begin{aligned} 1={}&(3Ax^2+B)(x^4+1) -4x^3(Ax^3+Bx)+(Cx^2+D)(x^4+1)\end{aligned}

Сравнение коэффициентов даёт систему

\begin{cases} B+D=1\\ 3A+C=0\\ -3B+D=0\\ -A+C=0\end{cases}

Из двух уравнений, содержащих

A

C

, получаем

A=C=0

. Далее

D=3B

B+D=1

, поэтому

B=\dfrac{1}{4}

D=\dfrac{3}{4}

. Таким образом,

A=0, \qquad B=\dfrac{1}{4}, \qquad C=0, \qquad D=\dfrac{3}{4}

Следовательно,

\int\dfrac{dx}{(x^4+1)^2} =\dfrac{x}{4(x^4+1)} +\dfrac{3}{4}\int\dfrac{dx}{x^4+1}

Для оставшейся дроби разложим знаменатель:

x^4+1 =(x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1)

Ищем разложение

\dfrac{1}{x^4+1} =\dfrac{Ax+B}{x^2+\sqrt2x+1} +\dfrac{Cx+D}{x^2-\sqrt2x+1}

После умножения на

x^4+1

получаем тождество

\begin{aligned} 1={}&(Ax+B)(x^2-\sqrt2x+1)+(Cx+D)(x^2+\sqrt2x+1)\end{aligned}

Сравнивая коэффициенты, получаем систему

\begin{cases} A+C=0\\ -\sqrt2A+B+\sqrt2C+D=0\\ A+C+\sqrt2(D-B)=0\\ B+D=1\end{cases}

Из первого и третьего уравнений имеем

C=-A

D=B

. Тогда четвёртое уравнение даёт

B=D=\dfrac{1}{2}

, а второе~---

A=\dfrac{1}{2\sqrt2}

C=-\dfrac{1}{2\sqrt2}

. Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac{1}{x^4+1} &=\dfrac{\dfrac{x}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}} {x^2+\sqrt2x+1} +\dfrac{-\dfrac{x}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2}} {x^2-\sqrt2x+1}\end{aligned}

Перед интегрированием выделим в числителях производные знаменателей:

\begin{aligned} \dfrac{x}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2} &=\dfrac{1}{4\sqrt2}(2x+\sqrt2)+\dfrac{1}{4}\\ -\dfrac{x}{2\sqrt2}+\dfrac{1}{2} &=-\dfrac{1}{4\sqrt2}(2x-\sqrt2)+\dfrac{1}{4}\end{aligned}

Кроме того,

x^2\pm\sqrt2x+1 =\left(x\pm\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2+\dfrac{1}{2}

Поэтому

\int\dfrac{dx}{x^2\pm\sqrt2x+1} =\sqrt2\,\arctg(\sqrt2x\pm1)+C

Интегрируя разложение, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^4+1} &=\dfrac{1}{4\sqrt2} \ln\dfrac{x^2+\sqrt2x+1}{x^2-\sqrt2x+1}+\dfrac{1}{2\sqrt2}\left( \arctg(\sqrt2x+1) +\arctg(\sqrt2x-1) \right)+C\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x^4+1)^2} &=\dfrac{x}{4(x^4+1)} +\dfrac{3}{16\sqrt2} \ln\dfrac{x^2+\sqrt2x+1}{x^2-\sqrt2x+1}+\dfrac{3}{8\sqrt2}\left( \arctg(\sqrt2x+1) +\arctg(\sqrt2x-1) \right)+C\end{aligned}