Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1903

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^3}{(x-1)^{100}}\,dx

Ответ:

-\dfrac{1}{96(x-1)^{96}} -\dfrac{3}{97(x-1)^{97}} -\dfrac{3}{98(x-1)^{98}} -\dfrac{1}{99(x-1)^{99}}+C, \qquad x\ne1

Решение

Положим

u=x-1

. Тогда

x=u+1

dx=du

x^3=(u+1)^3=u^3+3u^2+3u+1

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^3}{(x-1)^{100}}\,dx &=\int\left(u^{-97}+3u^{-98}+3u^{-99}+u^{-100}\right)du=\\ &=-\dfrac{1}{96u^{96}} -\dfrac{3}{97u^{97}} -\dfrac{3}{98u^{98}} -\dfrac{1}{99u^{99}}+C\end{aligned}

Возвращаясь к переменной

x

, получаем искомую первообразную при

x\ne1

. Формула рассматривается отдельно на промежутках

(-\infty,1)

(1,+\infty)

; постоянная

C

на них может принимать независимые значения.