Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1892

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод Остроградского, найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^3+1)^2}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{x}{3(x^3+1)} +\dfrac{2}{9}\ln|x+1| -\dfrac{1}{9}\ln(x^2-x+1)+\dfrac{2}{3\sqrt3} \arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C, \qquad x\ne-1\end{aligned}

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при

x^3+1\ne0, \qquad x\ne-1

Положим

q(x)=x^3+1

Многочлен

q

не имеет общих корней со своей производной

q'(x)=3x^2

, поскольку единственный корень

q'

равен нулю, а

q(0)=1

. По методу Остроградского ищем

U=a_2x^2+a_1x+a_0, \qquad V=b_2x^2+b_1x+b_0

такие, что

\dfrac{1}{q^2} =\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{U}{q}\right) +\dfrac{V}{q}

После умножения на

q^2

получаем тождество

1=U'q-Uq'+Vq

Подставляя

U

V

и сравнивая коэффициенты при степенях

x

от нулевой до пятой, получаем

\begin{cases} a_1+b_0=1\\ 2a_2+b_1=0\\ -3a_0+b_2=0\\ -2a_1+b_0=0\\ -a_2+b_1=0\\ b_2=0\end{cases}

Из последнего и третьего уравнений имеем

b_2=0

a_0=0

. Пятое уравнение даёт

b_1=a_2

, а после подстановки во второе уравнение получаем

2a_2+b_1=3a_2=0, \qquad a_2=b_1=0

Из четвёртого уравнения

b_0=2a_1

. Подставляя это равенство в первое уравнение, находим

a_1+b_0=3a_1=1, \qquad a_1=\dfrac{1}{3}, \qquad b_0=\dfrac{2}{3}

Поэтому

U=\dfrac{x}{3}, \qquad V=\dfrac{2}{3}

Следовательно,

\int\dfrac{dx}{(x^3+1)^2} =\dfrac{x}{3(x^3+1)} +\dfrac{2}{3}\int\dfrac{dx}{x^3+1}

Для оставшейся дроби сначала разложим знаменатель:

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

Ищем разложение на простейшие дроби в виде

\dfrac{1}{x^3+1} =\dfrac{A}{x+1} +\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1}

После умножения на

x^3+1

получаем

1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)

Сравнение коэффициентов даёт систему

\begin{cases} A+B=0\\ -A+B+C=0\\ A+C=1\end{cases}

Отсюда

A=\dfrac{1}{3}, \qquad B=-\dfrac{1}{3}, \qquad C=\dfrac{2}{3}

Следовательно,

\dfrac{1}{x^3+1} =\dfrac{1}{3(x+1)} +\dfrac{-x+2}{3(x^2-x+1)}

Так как

-x+2=-\dfrac{1}{2}(2x-1)+\dfrac{3}{2}, \qquad x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}

то

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^3+1} &=\dfrac{1}{3}\ln|x+1| -\dfrac{1}{6}\ln(x^2-x+1)+\dfrac{1}{\sqrt3} \arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C\end{aligned}

Подставляя этот результат, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x^3+1)^2} &=\dfrac{x}{3(x^3+1)} +\dfrac{2}{9}\ln|x+1| -\dfrac{1}{9}\ln(x^2-x+1)+\dfrac{2}{3\sqrt3} \arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}+C\end{aligned}