Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1866

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{2x+3}{(x-2)(x+5)}\,dx

Ответ:

\ln|x-2|+\ln|x+5|+C, \qquad x\ne-5, \quad x\ne2

На трёх промежутках области определения постоянные интегрирования могут быть различными.

Решение

Разложим дробь методом неопределённых коэффициентов:

\dfrac{2x+3}{(x-2)(x+5)} =\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+5}

После приведения к общему знаменателю получаем

2x+3=A(x+5)+B(x-2)

Сравнивая коэффициенты, имеем

A+B=2, \qquad 5A-2B=3, \qquad A=B=1

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{2x+3}{(x-2)(x+5)}\,dx &=\int\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x+5}\right)dx=\\ &=\ln|x-2|+\ln|x+5|+C\end{aligned}