Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1872

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1872

∫x2+1(x+1)2(x−1) dx\displaystyle\int\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}\,dx.
Ответ:12ln⁡∣x2−1∣+1x+1+C,x≠−1,x≠1\dfrac12\ln|x^2-1|+\dfrac{1}{x+1}+C,
\qquad x\ne-1,\quad x\ne1

Решение

Знаменатель уже разложен на линейные множители, причём множитель x+1x+1 имеет кратность 22. Поэтому положимx2+1(x+1)2(x−1)=Ax−1+Bx+1+C(x+1)2\dfrac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}
=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{(x+1)^2}Умножая равенство на (x+1)2(x−1)(x+1)^2(x-1), получаемx2+1=A(x+1)2+B(x+1)(x−1)+C(x−1)x^2+1=A(x+1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x-1)Подставим корни знаменателя:x=1:2=4A⟹A=12,x=−1:2=−2C⟹C=−1x=1:\quad 2=4A \quad\Longrightarrow\quad A=\dfrac12,
\qquad
x=-1:\quad 2=-2C \quad\Longrightarrow\quad C=-1Сравнение коэффициентов при x2x^2 даёт A+B=1A+B=1, откуда B=12B=\dfrac12. Таким образом,x2+1(x+1)2(x−1)=12(x−1)+12(x+1)−1(x+1)2\dfrac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}
=\dfrac{1}{2(x-1)}+\dfrac{1}{2(x+1)}
-\dfrac{1}{(x+1)^2}Следовательно,∫x2+1(x+1)2(x−1) dx=12ln⁡∣x−1∣+12ln⁡∣x+1∣+1x+1+C==12ln⁡∣x2−1∣+1x+1+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}\,dx
&=\dfrac12\ln|x-1|+\dfrac12\ln|x+1|
+\dfrac{1}{x+1}+C=\\
&=\dfrac12\ln|x^2-1|+\dfrac{1}{x+1}+C
\end{aligned}
Демидович № 1872 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика