Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1873

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1873

∫(xx2−3x+2)2 dx\displaystyle\int\left(\frac{x}{x^2-3x+2}\right)^2\,dx.
Ответ:4ln⁡∣x−1x−2∣−1x−1−4x−2+C,x≠1,x≠24\ln\left|\dfrac{x-1}{x-2}\right|
-\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{4}{x-2}+C,
\qquad x\ne1,\quad x\ne2

Решение

Разложим квадратный трёхчлен:x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2-3x+2=(x-1)(x-2)Тогда подынтегральная функция имеет видx2(x−1)2(x−2)2\dfrac{x^2}{(x-1)^2(x-2)^2}Для двух кратных линейных множителей разложение на простейшие дроби записывается так:x2(x−1)2(x−2)2=Ax−1+B(x−1)2+Cx−2+D(x−2)2\dfrac{x^2}{(x-1)^2(x-2)^2}
=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}
+\dfrac{C}{x-2}+\dfrac{D}{(x-2)^2}После умножения на общий знаменатель имеемx2=A(x−1)(x−2)2+B(x−2)2+C(x−2)(x−1)2+D(x−1)2\begin{aligned}
x^2={}&A(x-1)(x-2)^2+B(x-2)^2 +C(x-2)(x-1)^2+D(x-1)^2
\end{aligned}Подставим корни знаменателя: при x=1x=1 получаем B=1B=1, при x=2x=2 получаем D=4D=4. Далее сравним коэффициент при x3x^3 и свободный член:A+C=0,−4A−2C+4B+D=0A+C=0,
\qquad
-4A-2C+4B+D=0После подстановки B=1B=1, D=4D=4 имеем C=−AC=-A и −2A+8=0-2A+8=0. Отсюда A=4A=4, C=−4C=-4, так чтоx2(x−1)2(x−2)2=4x−1+1(x−1)2−4x−2+4(x−2)2\dfrac{x^2}{(x-1)^2(x-2)^2}
=\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}
-\dfrac{4}{x-2}+\dfrac{4}{(x-2)^2}Интегрируя почленно, получаем∫(xx2−3x+2)2dx=4ln⁡∣x−1∣−1x−1−4ln⁡∣x−2∣−4x−2+C==4ln⁡∣x−1x−2∣−1x−1−4x−2+C\begin{aligned}
\int\left(\dfrac{x}{x^2-3x+2}\right)^2dx
&=4\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}
-4\ln|x-2|-\dfrac{4}{x-2}+C=\\
&=4\ln\left|\dfrac{x-1}{x-2}\right|
-\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{4}{x-2}+C
\end{aligned}
Демидович № 1873 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика