Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1911

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1911

∫x2n−1xn+1 dx\displaystyle\int\frac{x^{2n-1}}{x^n+1}\,dx.
Ответ:xnn−1nln⁡∣xn+1∣+C,xn+1≠0,n∈N,n⩾1\dfrac{x^n}{n}-\dfrac{1}{n}\ln|x^n+1|+C,
\qquad
x^n+1\ne0,
\quad n\in\mathbb N,
\quad n\geqslant1

Решение

Полагаем n∈Nn\in\mathbb N, n⩾1n\geqslant1. Подведём xnx^n под знак дифференциала:t=xn,dt=nxn−1 dxt=x^n,
\qquad
dt=nx^{n-1}\,dxТогда∫x2n−1xn+1 dx=1n∫tt+1 dt=1n∫(1−1t+1)dt==1n(t−ln⁡∣t+1∣)+C==xnn−1nln⁡∣xn+1∣+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^{2n-1}}{x^n+1}\,dx
&=\dfrac{1}{n}\int\dfrac{t}{t+1}\,dt
=\dfrac{1}{n}\int\left(1-\dfrac{1}{t+1}\right)dt=\\
&=\dfrac{1}{n}\bigl(t-\ln|t+1|\bigr)+C=\\
&=\dfrac{x^n}{n}-\dfrac{1}{n}\ln|x^n+1|+C
\end{aligned}При чётном nn знаменатель положителен для всех x∈Rx\in\mathbb R. При нечётном nn необходимо исключить точку x=−1x=-1. В этом случае область определения состоит из промежутков (−∞;−1)(-\infty;-1) и (−1;+∞)(-1;+\infty); постоянные интегрирования на них могут быть различными.