Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1896

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод Остроградского, найти интегралы:

Задача 1896

∫x2+3x−2(x−1)(x2+x+1)2 dx\displaystyle\int\frac{x^2+3x-2}{(x-1)(x^2+x+1)^2}\,dx.
Ответ:5x+23(x2+x+1)+29ln⁡∣x−1∣−19ln⁡(x2+x+1)+833arctg⁡2x+13+C,x≠1\begin{aligned}
&\dfrac{5x+2}{3(x^2+x+1)}
+\dfrac{2}{9}\ln|x-1|
-\dfrac{1}{9}\ln(x^2+x+1)+\dfrac{8}{3\sqrt3}\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}+C,
\qquad x\ne1
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Обозначимq=x2+x+1q=x^2+x+1Так как q=(x+12)2+34>0q=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0, подынтегральная функция определена при x≠1x\ne1. По методу Остроградского ищем разложениеx2+3x−2(x−1)q2=ddx(Ax+Bq)+Cx−1+Dx+Eq\begin{aligned}
\dfrac{x^2+3x-2}{(x-1)q^2}
&=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{Ax+B}{q}\right)
+\dfrac{C}{x-1}
+\dfrac{Dx+E}{q}
\end{aligned}После умножения на (x−1)q2(x-1)q^2 получаем тождествоx2+3x−2=(x−1)(Aq−(Ax+B)(2x+1))+Cq2+(Dx+E)(x−1)q\begin{aligned}
x^2+3x-2={}&(x-1)\bigl(Aq-(Ax+B)(2x+1)\bigr)+Cq^2+(Dx+E)(x-1)q
\end{aligned}Раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты, получаем систему{−A+B+C−E=−2A+B+2C−D=3A−2B+3C=1−A+2C+E=0C+D=0\begin{cases}
-A+B+C-E=-2\\
A+B+2C-D=3\\
A-2B+3C=1\\
-A+2C+E=0\\
C+D=0
\end{cases}Из двух последних уравнений имеем D=−CD=-C и E=A−2CE=A-2C. Первые три уравнения после подстановки принимают вид{−2A+B+3C=−2A+B+3C=3A−2B+3C=1\begin{cases}
-2A+B+3C=-2\\
A+B+3C=3\\
A-2B+3C=1
\end{cases}Вычитая первое уравнение из второго, получаем 3A=53A=5, то есть A=53A=\dfrac{5}{3}. После подстановки этого значения во второе и третье уравнения остаётся система{B+3C=43−2B+3C=−23\begin{cases}
B+3C=\dfrac{4}{3}\\
-2B+3C=-\dfrac{2}{3}
\end{cases}Вычитая второе уравнение из первого, получаем 3B=23B=2. ПоэтомуB=23,C=29B=\dfrac{2}{3},
\qquad
C=\dfrac{2}{9}После этого D=−C=−29D=-C=-\dfrac{2}{9} и E=A−2C=119E=A-2C=\dfrac{11}{9}. Таким образом,A=53,B=23,C=29,D=−29,E=119A=\dfrac{5}{3},
\qquad
B=\dfrac{2}{3},
\qquad
C=\dfrac{2}{9},
\qquad
D=-\dfrac{2}{9},
\qquad
E=\dfrac{11}{9}Следовательно,∫x2+3x−2(x−1)(x2+x+1)2 dx=5x+23(x2+x+1)+29ln⁡∣x−1∣+19∫−2x+11x2+x+1 dx\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2+3x-2}{(x-1)(x^2+x+1)^2}\,dx
&=\dfrac{5x+2}{3(x^2+x+1)}
+\dfrac{2}{9}\ln|x-1|
+\dfrac{1}{9}
\int\dfrac{-2x+11}{x^2+x+1}\,dx
\end{aligned}Поскольку−2x+11=−(2x+1)+12-2x+11=-(2x+1)+12имеем19∫−2x+11x2+x+1 dx=−19ln⁡(x2+x+1)+833arctg⁡2x+13\begin{aligned}
\dfrac{1}{9}\int\dfrac{-2x+11}{x^2+x+1}\,dx
&=-\dfrac{1}{9}\ln(x^2+x+1)+\dfrac{8}{3\sqrt3}
\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}
\end{aligned}Таким образом,∫x2+3x−2(x−1)(x2+x+1)2 dx=5x+23(x2+x+1)+29ln⁡∣x−1∣−19ln⁡(x2+x+1)+833arctg⁡2x+13+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2+3x-2}{(x-1)(x^2+x+1)^2}\,dx
&=\dfrac{5x+2}{3(x^2+x+1)}
+\dfrac{2}{9}\ln|x-1|-\dfrac{1}{9}\ln(x^2+x+1)
+\dfrac{8}{3\sqrt3}\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}+C
\end{aligned}
Демидович № 1896 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика