Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1900

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Выделить алгебраическую часть следующих интегралов:

Задача 1900

∫4x5−1(x5+x+1)2 dx\displaystyle\int\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}\,dx.
Ответ:R(x)=−xx5+x+1,x5+x+1≠0R(x)=-\dfrac{x}{x^5+x+1},
\qquad x^5+x+1\ne0Весь интеграл равен R(x)+CR(x)+C. На каждом связном промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Обозначимq=x5+x+1,q′=5x4+1q=x^5+x+1,
\qquad
q'=5x^4+1Подынтегральная функция определена при q≠0q\ne0. Так как q′(x)>0q'(x)>0 при всех xx иlim⁡x→−∞q(x)=−∞,lim⁡x→+∞q(x)=+∞\lim_{x\to-\infty}q(x)=-\infty,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}q(x)=+\inftyуравнение q(x)=0q(x)=0 имеет единственный действительный корень ξ\xi. Поэтому область определения состоит из промежутков (−∞;ξ)(-\infty;\xi) и (ξ;+∞)(\xi;+\infty).

Непосредственно проверим производную рациональной функции:ddx(−xq)=−q+xq′q2==−(x5+x+1)+x(5x4+1)(x5+x+1)2==4x5−1(x5+x+1)2\begin{aligned}
\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{x}{q}\right)
&=\dfrac{-q+xq'}{q^2}=\\
&=\dfrac{-(x^5+x+1)+x(5x^4+1)}{(x^5+x+1)^2}=\\
&=\dfrac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}
\end{aligned}Следовательно, остаточная дробь равна нулю, а весь интеграл является алгебраическим:∫4x5−1(x5+x+1)2 dx=−xx5+x+1+C\int\dfrac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}\,dx
=-\dfrac{x}{x^5+x+1}+C
Демидович № 1900 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика