Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1867

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x+1)(x+2)(x+3)}

Ответ:

-\dfrac{1}{2}\ln|x+1|+2\ln|x+2| -\dfrac{3}{2}\ln|x+3|+C

Формула справедлива при

x\notin\{-3,-2,-1\}

; на четырёх промежутках области определения постоянные выбираются независимо.

Решение

Ищем разложение

\dfrac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} =\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{D}{x+3}

Тогда

x=A(x+2)(x+3)+B(x+1)(x+3)+D(x+1)(x+2)

Последовательно подставляя

x=-1

x=-2

x=-3

, находим

\begin{aligned} x=-1:&\quad -1=2A \quad\Longrightarrow\quad A=-\dfrac{1}{2}\\ x=-2:&\quad -2=-B \quad\Longrightarrow\quad B=2\\ x=-3:&\quad -3=2D \quad\Longrightarrow\quad D=-\dfrac{3}{2}\end{aligned}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{(x+1)(x+2)(x+3)} &=-\dfrac{1}{2}\ln|x+1|+2\ln|x+2|-\dfrac{3}{2}\ln|x+3|+C\end{aligned}