Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1878

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2-4x+4)(x^2-4x+5)}

Ответ:

-\dfrac{1}{x-2}-\arctg (x-2)+C, \qquad x\ne2

Решение

Положим

t=x-2

, тогда

dt=dx

. Знаменатель преобразуется следующим образом:

(x^2-4x+4)(x^2-4x+5)=t^2(t^2+1)

Разложим полученную дробь методом неопределённых коэффициентов. Общий вид разложения:

\dfrac{1}{t^2(t^2+1)} =\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t^2} +\dfrac{Ct+D}{t^2+1}

После умножения на

t^2(t^2+1)

получаем тождество

1=At(t^2+1)+B(t^2+1)+(Ct+D)t^2

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

t

, имеем

A+C=0, \qquad B+D=0, \qquad A=0, \qquad B=1

Следовательно,

A=0, \qquad B=1, \qquad C=0, \qquad D=-1

и потому

\dfrac{1}{t^2(t^2+1)} =\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t^2+1}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{(x^2-4x+4)(x^2-4x+5)} &=\int\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t^2+1}\right)dt=\\ &=-\dfrac{1}{t}-\arctg t+C=\\ &=-\dfrac{1}{x-2}-\arctg (x-2)+C\end{aligned}