Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1908

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^4\,dx}{(x^{10}-10)^2}

Ответ:

\begin{aligned} &-\dfrac{x^5}{100(x^{10}-10)} -\dfrac{1}{200\sqrt{10}} \ln \left|\dfrac{x^5-\sqrt{10}}{x^5+\sqrt{10}}\right|+C, &\qquad x\ne-\sqrt[10]{10}, \quad x\ne\sqrt[10]{10}\end{aligned}

Решение

Положим

u=x^5

. Тогда

du=5x^4\,dx

, поэтому

\int\dfrac{x^4\,dx}{(x^{10}-10)^2} =\dfrac15\int\dfrac{du}{(u^2-10)^2}

Обозначим

r=\sqrt{10}

. Сначала вычислим производную

\left(\dfrac{u}{u^2-r^2}\right)' =-\dfrac{u^2+r^2}{(u^2-r^2)^2}

Отсюда непосредственным приведением к общему знаменателю проверяется тождество

\dfrac{1}{(u^2-r^2)^2} =-\dfrac{1}{2r^2} \left(\dfrac{u}{u^2-r^2}\right)' -\dfrac{1}{2r^2}\cdot\dfrac{1}{u^2-r^2}

Действительно, его правая часть равна

\begin{aligned} &\dfrac{u^2+r^2}{2r^2(u^2-r^2)^2} -\dfrac{u^2-r^2}{2r^2(u^2-r^2)^2}=\dfrac{1}{(u^2-r^2)^2}\end{aligned}

Кроме того,

\dfrac{1}{u^2-r^2} =\dfrac{1}{2r} \left(\dfrac{1}{u-r}-\dfrac{1}{u+r}\right)

Поэтому

\int\dfrac{du}{u^2-r^2} =\dfrac{1}{2r}\ln \left|\dfrac{u-r}{u+r}\right|

Интегрируя почленно, получаем

\int\dfrac{du}{(u^2-r^2)^2} =-\dfrac{u}{2r^2(u^2-r^2)} -\dfrac{1}{4r^3} \ln \left|\dfrac{u-r}{u+r}\right|+C

Возвращаясь к

x

, имеем

\begin{aligned} \int\dfrac{x^4\,dx}{(x^{10}-10)^2} &=-\dfrac{x^5}{100(x^{10}-10)}-\dfrac{1}{200\sqrt{10}} \ln \left|\dfrac{x^5-\sqrt{10}}{x^5+\sqrt{10}}\right|+C\end{aligned}

Формула рассматривается отдельно на каждом промежутке области определения; на разных промежутках постоянная

C

может принимать независимые значения.