Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1909

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^{11}\,dx}{x^8+3x^4+2}

Ответ:

\dfrac{x^4}{4}+\dfrac14\ln (x^4+1) -\ln (x^4+2)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Положим

u=x^4

. Тогда

du=4x^3\,dx

x^{11}\,dx=u^2\dfrac{du}{4}

. Поэтому

\int\dfrac{x^{11}\,dx}{x^8+3x^4+2} =\dfrac14\int\dfrac{u^2}{u^2+3u+2}\,du

Сначала разделим многочлены:

\dfrac{u^2}{u^2+3u+2} =1-\dfrac{3u+2}{(u+1)(u+2)}

Правильную дробь представим в виде

-\dfrac{3u+2}{(u+1)(u+2)} =\dfrac{A}{u+1}+\dfrac{B}{u+2}

После умножения на

(u+1)(u+2)

получаем

-3u-2=A(u+2)+B(u+1)

Подставляя

u=-1

u=-2

, находим

\begin{aligned} u=-1:\quad &1=A \quad\Longrightarrow\quad A=1\\ u=-2:\quad &4=-B \quad\Longrightarrow\quad B=-4\end{aligned}

Следовательно,

\dfrac{u^2}{u^2+3u+2} =1+\dfrac{1}{u+1}-\dfrac{4}{u+2}

Интегрируя почленно, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x^{11}\,dx}{x^8+3x^4+2} &=\dfrac14\left(u+\ln |u+1|-4\ln |u+2|\right)+C=\\ &=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac14\ln (x^4+1) -\ln (x^4+2)+C\end{aligned}

Знаменатель

(x^4+1)(x^4+2)

положителен при всех действительных

x