Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1912

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1912

∫x3n−1(x2n+1)2 dx\displaystyle\int\frac{x^{3n-1}}{(x^{2n}+1)^2}\,dx.
Ответ:12n(arctg⁡(xn)−xnx2n+1)+C,n∈N,n⩾1\dfrac{1}{2n}\left(
\arctg(x^n)-\dfrac{x^n}{x^{2n}+1}
\right)+C,
\qquad n\in\mathbb N,
\quad n\geqslant1

Решение

Полагаем n∈Nn\in\mathbb N, n⩾1n\geqslant1, и вводим заменуt=xn,dt=nxn−1 dxt=x^n,
\qquad
dt=nx^{n-1}\,dxПоскольку x3n−1 dx=x2nxn−1 dxx^{3n-1}\,dx=x^{2n}x^{n-1}\,dx, получаем∫x3n−1(x2n+1)2 dx=1n∫t2(t2+1)2 dt\int\dfrac{x^{3n-1}}{(x^{2n}+1)^2}\,dx
=\dfrac{1}{n}\int\dfrac{t^2}{(t^2+1)^2}\,dtРазложим подынтегральную функцию:t2(t2+1)2=1t2+1−1(t2+1)2\dfrac{t^2}{(t^2+1)^2}
=\dfrac{1}{t^2+1}-\dfrac{1}{(t^2+1)^2}Используя формулу∫dt(t2+1)2=t2(t2+1)+12arctg⁡t+C\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}
=\dfrac{t}{2(t^2+1)}+\dfrac{1}{2}\arctg t+Cкоторую можно проверить дифференцированием:ddt(t2(t2+1)+12arctg⁡t)=1−t22(t2+1)2+12(t2+1)==1−t2+t2+12(t2+1)2=1(t2+1)2,\begin{aligned}
\dfrac{d}{dt}\left(
\dfrac{t}{2(t^2+1)}+\dfrac{1}{2}\arctg t
\right)
&=\dfrac{1-t^2}{2(t^2+1)^2}
+\dfrac{1}{2(t^2+1)}=\\
&=\dfrac{1-t^2+t^2+1}{2(t^2+1)^2}
=\dfrac{1}{(t^2+1)^2},
\end{aligned}находим∫x3n−1(x2n+1)2 dx=1n(arctg⁡t−t2(t2+1)−12arctg⁡t)+C==12n(arctg⁡(xn)−xnx2n+1)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^{3n-1}}{(x^{2n}+1)^2}\,dx
&=\dfrac{1}{n}\left(
\arctg t-\dfrac{t}{2(t^2+1)}-\dfrac{1}{2}\arctg t
\right)+C=\\
&=\dfrac{1}{2n}\left(
\arctg(x^n)-\dfrac{x^n}{x^{2n}+1}
\right)+C
\end{aligned}Знаменатель x2n+1x^{2n}+1 положителен при всех действительных xx.
Демидович № 1912 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика