Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1890

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1890

При каком условии интеграл∫ax2+bx+cx3(x−1)2 dx\int\frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}\,dxпредставляет собой рациональную функцию?
Ответ:Первообразная является рациональной тогда и только тогда, когдаa+2b+3c=0a+2b+3c=0В этом случае при x≠0x\ne0, x≠1x\ne1:−b+2cx−c2x2+b+2cx−1+C-\dfrac{b+2c}{x}
-\dfrac{c}{2x^2}
+\dfrac{b+2c}{x-1}+CНа каждом из трёх промежутков области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при x≠0x\ne0 и x≠1x\ne1. Общий вид разложения с учётом кратностей множителей знаменателя таков:ax2+bx+cx3(x−1)2=Ax+Bx2+Cx3+Dx−1+E(x−1)2\begin{aligned}
\dfrac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}
&=\dfrac{A}{x}
+\dfrac{B}{x^2}
+\dfrac{C}{x^3}+\dfrac{D}{x-1}
+\dfrac{E}{(x-1)^2}
\end{aligned}Умножая на x3(x−1)2x^3(x-1)^2, получаем тождествоax2+bx+c=Ax2(x−1)2+Bx(x−1)2+C(x−1)2+Dx3(x−1)+Ex3\begin{aligned}
ax^2+bx+c
&=Ax^2(x-1)^2+Bx(x-1)^2+C(x-1)^2+Dx^3(x-1)+Ex^3
\end{aligned}Сравним коэффициенты при 11, xx, x2x^2, x4x^4 и x3x^3 именно в таком порядке:C=c,    B−2C=b,    A−2B+C=a,A+D=0,−2A+B−D+E=0\begin{aligned}
C=c,\; \; B-2C=b,\;\; A-2B+C=a,\\
A+D=0, -2A+B-D+E=0
\end{aligned}Последовательно находимA=a+2b+3c,B=b+2c,C=c,D=−(a+2b+3c),E=a+b+c\begin{aligned}
A&=a+2b+3c,
&B&=b+2c,
&C&=c,\\
D&=-(a+2b+3c),
&E&=a+b+c
\end{aligned}Обозначая A=a+2b+3cA=a+2b+3c, получаемax2+bx+cx3(x−1)2=Ax+b+2cx2+cx3−Ax−1+a+b+c(x−1)2\begin{aligned}
\dfrac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}
&=\dfrac{A}{x}
+\dfrac{b+2c}{x^2}
+\dfrac{c}{x^3}-\dfrac{A}{x-1}
+\dfrac{a+b+c}{(x-1)^2}
\end{aligned}После интегрирования имеем∫ax2+bx+cx3(x−1)2 dx=Aln⁡∣xx−1∣−b+2cx−c2x2−a+b+cx−1+C\begin{aligned}
\int\dfrac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}\,dx
&=A\ln\left|\dfrac{x}{x-1}\right|
-\dfrac{b+2c}{x}
-\dfrac{c}{2x^2}-\dfrac{a+b+c}{x-1}+C
\end{aligned}Производная рациональной функции не содержит простых дробей вида Kx−x0\dfrac{K}{x-x_0}. Действительно, при дифференцировании слагаемого (x−x0)−k(x-x_0)^{-k}, где k⩾1k\geqslant1, порядок полюса увеличивается до k+1k+1. Поэтому для существования рациональной первообразной необходимо, чтобы коэффициенты при 1x\dfrac{1}{x} и 1x−1\dfrac{1}{x-1} были равны нулю. Эти коэффициенты равны соответственно AA и −A-A, значит необходимо условиеa+2b+3c=0a+2b+3c=0Оно также достаточно: при A=0A=0 логарифмическое слагаемое исчезает. Поскольку тогда a+b+c=−(b+2c)a+b+c=-(b+2c), рациональную первообразную можно записать в виде−b+2cx−c2x2+b+2cx−1+C-\dfrac{b+2c}{x}
-\dfrac{c}{2x^2}
+\dfrac{b+2c}{x-1}+CНа каждом промежутке области определения постоянная интегрирования выбирается независимо.
Демидович № 1890 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика