Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1907

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^4-3}{x(x^8+3x^4+2)}\,dx

Ответ:

-\dfrac32\ln |x|+\ln (x^4+1) -\dfrac58\ln (x^4+2)+C, \qquad x\ne0

Решение

Разложим многочлен в знаменателе:

x^8+3x^4+2=(x^4+1)(x^4+2)

При

x\ne0

положим

u=x^4

. Поскольку

du=4x^3\,dx=4u\dfrac{dx}{x}

, получаем

\int\dfrac{x^4-3}{x(x^8+3x^4+2)}\,dx =\dfrac14\int\dfrac{u-3}{u(u+1)(u+2)}\,du

Ищем разложение на простейшие дроби в виде

\dfrac{u-3}{u(u+1)(u+2)} =\dfrac{A}{u}+\dfrac{B}{u+1}+\dfrac{C}{u+2}

После умножения на общий знаменатель получаем

u-3=A(u+1)(u+2)+Bu(u+2)+Cu(u+1)

Подставляя корни знаменателя, находим

\begin{aligned} u=0:\quad &-3=2A \quad\Longrightarrow\quad A=-\dfrac32\\ u=-1:\quad &-4=-B \quad\Longrightarrow\quad B=4\\ u=-2:\quad &-5=2C \quad\Longrightarrow\quad C=-\dfrac52\end{aligned}

Следовательно, разложение имеет вид

\dfrac{u-3}{u(u+1)(u+2)} =-\dfrac{3}{2u}+\dfrac{4}{u+1} -\dfrac{5}{2(u+2)}

Интегрируя почленно, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x^4-3}{x(x^8+3x^4+2)}\,dx &=-\dfrac38\ln |u|+\ln |u+1| -\dfrac58\ln |u+2|+C=\\ &=-\dfrac32\ln |x|+\ln (x^4+1) -\dfrac58\ln (x^4+2)+C\end{aligned}

Единственная недопустимая точка исходной подынтегральной функции —

x=0

. Формула рассматривается отдельно на промежутках

(-\infty,0)

(0,+\infty)

; постоянная

C

на них может принимать независимые значения.