Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1905

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^3\,dx}{x^8+3}

Ответ:

\dfrac{1}{4\sqrt3} \arctg \left(\dfrac{x^4}{\sqrt3}\right)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Положим

u=x^4

. Тогда

du=4x^3\,dx

. Для последнего интеграла используем

\dfrac{d}{du}\arctg\dfrac{u}{\sqrt3} =\dfrac{\sqrt3}{u^2+3}

Получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x^3\,dx}{x^8+3} &=\dfrac14\int\dfrac{du}{u^2+3}=\\ &=\dfrac{1}{4\sqrt3} \arctg \left(\dfrac{u}{\sqrt3}\right)+C=\\ &=\dfrac{1}{4\sqrt3} \arctg \left(\dfrac{x^4}{\sqrt3}\right)+C\end{aligned}

Знаменатель положителен при всех действительных

x