Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1871

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1871

∫x dxx3−3x+2\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^3-3x+2}.
Ответ:29ln⁡∣x−1x+2∣−13(x−1)+C,x≠1,x≠−2\dfrac29\ln\left|\dfrac{x-1}{x+2}\right|
-\dfrac{1}{3(x-1)}+C,
\qquad x\ne1,\quad x\ne-2

Решение

Разложим знаменатель на множители:x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)Ищем разложение на простейшие дроби в видеx(x−1)2(x+2)=Ax−1+B(x−1)2+Cx+2\dfrac{x}{(x-1)^2(x+2)}
=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+2}После умножения на общий знаменатель получаем тождествоx=A(x−1)(x+2)+B(x+2)+C(x−1)2x=A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)^2Подставим корни знаменателя:x=1:1=3B⟹B=13,x=−2:−2=9C⟹C=−29x=1:\quad 1=3B \quad\Longrightarrow\quad B=\dfrac13,
\qquad
x=-2:\quad -2=9C \quad\Longrightarrow\quad C=-\dfrac29Сравнение коэффициентов при x2x^2 даёт A+C=0A+C=0, поэтому A=29A=\dfrac29. Следовательно,xx3−3x+2=29(x−1)+13(x−1)2−29(x+2)\dfrac{x}{x^3-3x+2}
=\dfrac{2}{9(x-1)}+\dfrac{1}{3(x-1)^2}
-\dfrac{2}{9(x+2)}Интегрируя каждое слагаемое, получаем∫x dxx3−3x+2=29ln⁡∣x−1∣−13(x−1)−29ln⁡∣x+2∣+C==29ln⁡∣x−1x+2∣−13(x−1)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{x^3-3x+2}
&=\dfrac29\ln|x-1|-\dfrac{1}{3(x-1)}
-\dfrac29\ln|x+2|+C=\\
&=\dfrac29\ln\left|\dfrac{x-1}{x+2}\right|
-\dfrac{1}{3(x-1)}+C
\end{aligned}Формула задаёт первообразную отдельно на промежутках (−∞,−2)(-\infty,-2), (−2,1)(-2,1) и (1,+∞)(1,+\infty); постоянная CC на них выбирается независимо.
Демидович № 1871 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика