Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1868

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^{10}\,dx}{x^2+x-2}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{x^9}{9}-\dfrac{x^8}{8}+\dfrac{3x^7}{7} -\dfrac{5x^6}{6}+\dfrac{11x^5}{5}-\dfrac{21x^4}{4}+\dfrac{43x^3}{3}-\dfrac{85x^2}{2}+171x +\dfrac{1}{3}\ln|x-1|-\dfrac{1024}{3}\ln|x+2|+C\end{aligned}

Формула справедлива при

x\notin\{-2,1\}

; на трёх промежутках области определения постоянные выбираются независимо.

Решение

Сначала выполним деление многочленов: первый член частного

x^8

убирает старшую степень

x^{10}

, оставляя остаток

-x^9+2x^8

; следующий член

-x^7

убирает

-x^9

. Продолжая тем же способом, получаем

\begin{array}{c|c} \text{член частного} & \text{новый остаток} \\ \hline x^8 & -x^9+2x^8 \\ -x^7 & 3x^8-2x^7 \\ 3x^6 & -5x^7+6x^6 \\ -5x^5 & 11x^6-10x^5 \\ 11x^4 & -21x^5+22x^4 \\ -21x^3 & 43x^4-42x^3 \\ 43x^2 & -85x^3+86x^2 \\ -85x & 171x^2-170x \\ 171 & -341x+342\end{array}

Следовательно,

\begin{aligned} \dfrac{x^{10}}{x^2+x-2} &=x^8-x^7+3x^6-5x^5+11x^4-21x^3+43x^2-85x+171 +\dfrac{-341x+342}{x^2+x-2}\end{aligned}

Поскольку

x^2+x-2=(x-1)(x+2)

, положим

\dfrac{-341x+342}{(x-1)(x+2)} =\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}

Метод неопределённых коэффициентов даёт

A+B=-341, \qquad 2A-B=342

Складывая равенства, получаем

3A=1, \qquad A=\dfrac{1}{3}, \qquad B=-341-A=-\dfrac{1024}{3}

Следовательно,

\dfrac{-341x+342}{(x-1)(x+2)} =\dfrac{1}{3(x-1)}-\dfrac{1024}{3(x+2)}

Интегрируя почленно, имеем

\begin{aligned} \int\dfrac{x^{10}\,dx}{x^2+x-2} &=\dfrac{x^9}{9}-\dfrac{x^8}{8}+\dfrac{3x^7}{7} -\dfrac{5x^6}{6}+\dfrac{11x^5}{5}-\dfrac{21x^4}{4}+\dfrac{43x^3}{3}-\dfrac{85x^2}{2}+171x +\dfrac{1}{3}\ln|x-1|-\dfrac{1024}{3}\ln|x+2|+C\end{aligned}