Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1876

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1876

∫x2+5x+4x4+5x2+4 dx\displaystyle\int\frac{x^2+5x+4}{x^4+5x^2+4}\,dx.
Ответ:56ln⁡(x2+1x2+4)+arctg⁡x+C,x∈R\dfrac56\ln\left(\dfrac{x^2+1}{x^2+4}\right)
+\arctg x+C,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Разложим знаменатель на два квадратных множителя:x4+5x2+4=(x2+1)(x2+4)x^4+5x^2+4=(x^2+1)(x^2+4)Ищем разложение в видеx2+5x+4(x2+1)(x2+4)=Ax+Bx2+1+Cx+Dx2+4\dfrac{x^2+5x+4}{(x^2+1)(x^2+4)}
=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{Cx+D}{x^2+4}После умножения на общий знаменатель получаем тождествоx2+5x+4=(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1)x^2+5x+4=(Ax+B)(x^2+4)+(Cx+D)(x^2+1)Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xx, получаем системуA+C=0,B+D=1,4A+C=5,4B+D=4A+C=0,
\qquad B+D=1,
\qquad 4A+C=5,
\qquad 4B+D=4Из первого и третьего уравнений находимC=−A,3A=5⟹A=53,C=−53C=-A,
\qquad
3A=5
\quad\Longrightarrow\quad
A=\dfrac53,
\qquad C=-\dfrac53Аналогично, из второго и четвёртого уравненийD=1−B,3B=3⟹B=1,D=0D=1-B,
\qquad
3B=3
\quad\Longrightarrow\quad
B=1,
\qquad D=0Таким образом,x2+5x+4x4+5x2+4=5x+33(x2+1)−5x3(x2+4)\dfrac{x^2+5x+4}{x^4+5x^2+4}
=\dfrac{5x+3}{3(x^2+1)}
-\dfrac{5x}{3(x^2+4)}Интегрируя каждое слагаемое, получаем∫x2+5x+4x4+5x2+4 dx=56ln⁡(x2+1)+arctg⁡x−56ln⁡(x2+4)+C==56ln⁡(x2+1x2+4)+arctg⁡x+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2+5x+4}{x^4+5x^2+4}\,dx
&=\dfrac56\ln(x^2+1)+\arctg x
-\dfrac56\ln(x^2+4)+C=\\
&=\dfrac56\ln\left(\dfrac{x^2+1}{x^2+4}\right)
+\arctg x+C
\end{aligned}Оба квадратных множителя положительны при всех x∈Rx\in\mathbb R, поэтому дополнительных ограничений нет.
Демидович № 1876 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика