Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1879

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)}

Ответ:

\begin{aligned} &\dfrac{1}{25}\ln|x-1|-\dfrac{1}{5(x-1)} -\dfrac{1}{50}\ln(x^2+2x+2)-\dfrac{7}{25}\arctg (x+1)+C, \qquad x\ne1\end{aligned}

Решение

Квадратный множитель знаменателя не имеет вещественных корней, поскольку

x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0

Ищем разложение в виде

\dfrac{x}{(x-1)^2(x^2+2x+2)} =\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2} +\dfrac{Cx+D}{x^2+2x+2}

После умножения на общий знаменатель получаем тождество

x=A(x-1)(x^2+2x+2)+B(x^2+2x+2) +(Cx+D)(x-1)^2

Сначала подставим

x=1

1=5B \quad\Longrightarrow\quad B=\dfrac15

После подстановки

B

сравнение коэффициентов даёт систему

\begin{cases} A+C=0\\[0.5ex] D-2A=-\dfrac25\\[0.5ex] C-2D=\dfrac35\end{cases}

Из первых двух уравнений выражаем

C=-A, \qquad D=2A-\dfrac25

Подставим эти выражения в третье уравнение:

\begin{aligned} -A-2\left(2A-\dfrac25\right)=\dfrac35\\ -5A=-\dfrac15 \quad\Longrightarrow\quad A=\dfrac{1}{25}\end{aligned}

Тогда

C=-\dfrac{1}{25}

D=-\dfrac{8}{25}

. Подставляя найденные коэффициенты в разложение, получаем

\dfrac{x}{(x-1)^2(x^2+2x+2)} =\dfrac{1}{25(x-1)}+\dfrac{1}{5(x-1)^2} -\dfrac{x+8}{25(x^2+2x+2)}

Для интегрирования последней дроби представим её числитель через производную знаменателя:

-\dfrac{x+8}{25} =-\dfrac{1}{50}(2x+2)-\dfrac{7}{25}

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{x\,dx}{(x-1)^2(x^2+2x+2)} &=\dfrac{1}{25}\ln|x-1|-\dfrac{1}{5(x-1)} -\dfrac{1}{50}\ln(x^2+2x+2) -\dfrac{7}{25}\arctg (x+1)+C\end{aligned}