Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1906

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1906

∫x2+xx6+1 dx\displaystyle\int\frac{x^2+x}{x^6+1}\,dx.
Ответ:112ln⁡(x2+1)2x4−x2+1+123arctg⁡(2x2−13)+13arctg⁡(x3)+C,x∈R\begin{aligned}
&\dfrac1{12}\ln \dfrac{(x^2+1)^2}{x^4-x^2+1}
+\dfrac{1}{2\sqrt3}
\arctg \left(\dfrac{2x^2-1}{\sqrt3}\right)+\dfrac13\arctg (x^3)+C,
\qquad x\in\mathbb R
\end{aligned}

Решение

Разделим интеграл на два слагаемых:∫x2+xx6+1 dx=∫x2 dxx6+1+∫x dxx6+1\int\dfrac{x^2+x}{x^6+1}\,dx
=\int\dfrac{x^2\,dx}{x^6+1}
+\int\dfrac{x\,dx}{x^6+1}Первый интеграл вычисляется заменой v=x3v=x^3:∫x2 dxx6+1=13∫dvv2+1=13arctg⁡(x3)\int\dfrac{x^2\,dx}{x^6+1}
=\dfrac13\int\dfrac{dv}{v^2+1}
=\dfrac13\arctg (x^3)Во втором интеграле положим u=x2u=x^2. Тогда∫x dxx6+1=12∫duu3+1\int\dfrac{x\,dx}{x^6+1}
=\dfrac12\int\dfrac{du}{u^3+1}Посколькуu3+1=(u+1)(u2−u+1)u^3+1=(u+1)(u^2-u+1)Ищем разложение в виде1u3+1=Au+1+Bu+Cu2−u+1\dfrac{1}{u^3+1}
=\dfrac{A}{u+1}+\dfrac{Bu+C}{u^2-u+1}После умножения на общий знаменатель получаем1=A(u2−u+1)+(Bu+C)(u+1)1=A(u^2-u+1)+(Bu+C)(u+1)Подстановка u=−1u=-1 даёт1=3A⟹A=131=3A
\quad\Longrightarrow\quad
A=\dfrac13Сравнивая коэффициенты при u2u^2 и uu, имеемA+B=0⟹B=−13,−A+B+C=0⟹C=23A+B=0
\quad\Longrightarrow\quad
B=-\dfrac13,
\qquad
-A+B+C=0
\quad\Longrightarrow\quad
C=\dfrac23Следовательно,1u3+1=13(u+1)+−u+23(u2−u+1)\dfrac{1}{u^3+1}
=\dfrac{1}{3(u+1)}
+\dfrac{-u+2}{3(u^2-u+1)}Представим числитель второй дроби в удобном виде:−u+23=−16(2u−1)+12\dfrac{-u+2}{3}
=-\dfrac16(2u-1)+\dfrac12Учитывая, чтоu2−u+1=(u−12)2+34u^2-u+1=\left(u-\dfrac12\right)^2+\dfrac34запишем второй интеграл в виде∫x dxx6+1=16∫duu+1−112∫2u−1u2−u+1 du+14∫du(u−12)2+(32)2\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{x^6+1}
&=\dfrac16\int\dfrac{du}{u+1}
-\dfrac1{12}\int\dfrac{2u-1}{u^2-u+1}\,du+\dfrac14\int
\dfrac{du}{\left(u-\dfrac12\right)^2+
\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}
\end{aligned}Здесь первые два интеграла имеют вид ∫f′(u)f(u) du\int\dfrac{f'(u)}{f(u)}\,du, а для последнего используем формулу∫du(u−12)2+(32)2=23arctg⁡(2u−13)\int\dfrac{du}{\left(u-\dfrac12\right)^2+
\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}
=\dfrac{2}{\sqrt3}
\arctg \left(\dfrac{2u-1}{\sqrt3}\right)Поэтому∫x dxx6+1=16ln⁡(u+1)−112ln⁡(u2−u+1)+123arctg⁡(2u−13)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{x^6+1}
&=\dfrac16\ln (u+1)-\dfrac1{12}\ln (u^2-u+1)+\dfrac{1}{2\sqrt3}
\arctg \left(\dfrac{2u-1}{\sqrt3}\right)+C
\end{aligned}Возвращаясь к xx и объединяя логарифмы, имеем∫x2+xx6+1 dx=112ln⁡(x2+1)2x4−x2+1+123arctg⁡(2x2−13)+13arctg⁡(x3)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2+x}{x^6+1}\,dx
&=\dfrac1{12}\ln \dfrac{(x^2+1)^2}{x^4-x^2+1}+\dfrac{1}{2\sqrt3}
\arctg \left(\dfrac{2x^2-1}{\sqrt3}\right)
+\dfrac13\arctg (x^3)+C
\end{aligned}Знаменатель x6+1x^6+1 положителен при всех x∈Rx\in\mathbb R.
Демидович № 1906 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика