Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1869

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x}\,dx

Ответ:

x+\dfrac{1}{6}\ln|x|-\dfrac{9}{2}\ln|x-2| +\dfrac{28}{3}\ln|x-3|+C

Формула справедлива при

x\notin\{0,2,3\}

; на четырёх промежутках области определения постоянные выбираются независимо.

Решение

Выполним деление многочленов:

x^3+1 =\bigl(x^3-5x^2+6x\bigr) +\bigl(5x^2-6x+1\bigr)

Поскольку

x^3-5x^2+6x=x(x-2)(x-3)

, получаем

\dfrac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x} =1+\dfrac{5x^2-6x+1}{x(x-2)(x-3)}

Пусть

\dfrac{5x^2-6x+1}{x(x-2)(x-3)} =\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{D}{x-3}

Подставляя соответственно

x=0

x=2

x=3

, находим

\begin{aligned} x=0:&\quad 1=6A \quad\Longrightarrow\quad A=\dfrac{1}{6}\\ x=2:&\quad 9=-2B \quad\Longrightarrow\quad B=-\dfrac{9}{2}\\ x=3:&\quad 28=3D \quad\Longrightarrow\quad D=\dfrac{28}{3}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x}\,dx &=x+\dfrac{1}{6}\ln|x|-\dfrac{9}{2}\ln|x-2|+\dfrac{28}{3}\ln|x-3|+C\end{aligned}