Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1880

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x(1+x)(1+x+x^2)}

Ответ:

\ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right| -\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg \left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)+C, \qquad x\ne0,\quad x\ne-1

Решение

Множитель

x^2+x+1

не имеет вещественных корней, так как его дискриминант равен

-3

. Ищем разложение в виде

\dfrac{1}{x(x+1)(x^2+x+1)} =\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1} +\dfrac{Cx+D}{x^2+x+1}

После умножения на общий знаменатель получаем тождество

1=A(x+1)(x^2+x+1)+Bx(x^2+x+1) +(Cx+D)x(x+1)

Подставим

x=0

x=-1

\begin{aligned} x=0:\quad &1=A \quad\Longrightarrow\quad A=1\\ x=-1:\quad &1=-B \quad\Longrightarrow\quad B=-1\end{aligned}

Коэффициент при

x^3

даёт

A+B+C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=0

Из равенства коэффициентов при

x

получаем

2A+B+D=0 \quad\Longrightarrow\quad D=-1

Поэтому

\dfrac{1}{x(x+1)(x^2+x+1)} =\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1} -\dfrac{1}{x^2+x+1}

Выделим полный квадрат в последнем знаменателе:

x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34

Для последнего интеграла положим

u=x+\dfrac12, \qquad du=dx

Тогда

\begin{aligned} -\int\dfrac{dx}{x^2+x+1} &=-\int\dfrac{du}{u^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\\ &=-\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg \left(\dfrac{2u}{\sqrt3}\right)=-\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg \left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x(1+x)(1+x+x^2)} &=\ln|x|-\ln|x+1| -\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg \left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)+C=\\ &=\ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right| -\dfrac{2}{\sqrt3}\arctg \left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)+C\end{aligned}