Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1882

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1882

∫x dxx3−1\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^3-1}.
Ответ:13ln⁡∣x−1∣−16ln⁡(x2+x+1)+13arctg⁡2x+13+C,x≠1\dfrac{1}{3}\ln|x-1|
-\dfrac{1}{6}\ln(x^2+x+1)
+\dfrac{1}{\sqrt3}\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}+C,
\qquad
x\ne1На двух промежутках области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Разложим знаменатель на множители:x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)Подынтегральная функция определена при x≠1x\ne1. Ищем разложение в видеxx3−1=Ax−1+Bx+Cx2+x+1\dfrac{x}{x^3-1}
=\dfrac{A}{x-1}
+\dfrac{Bx+C}{x^2+x+1}После умножения на (x−1)(x2+x+1)(x-1)(x^2+x+1) имеемx=A(x2+x+1)+(Bx+C)(x−1)x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)Сравнивая коэффициенты, получаем системуA+B=0,A−B+C=1,A−C=0A+B=0,
\qquad
A-B+C=1,
\qquad
A-C=0ПоэтомуA=13,B=−13,C=13A=\dfrac{1}{3},
\qquad
B=-\dfrac{1}{3},
\qquad
C=\dfrac{1}{3}Таким образом,xx3−1=13(x−1)+−x+13(x2+x+1)\dfrac{x}{x^3-1}
=\dfrac{1}{3(x-1)}
+\dfrac{-x+1}{3(x^2+x+1)}Во второй дроби выделим производную знаменателя:−x+13(x2+x+1)=−162x+1x2+x+1+121x2+x+1\dfrac{-x+1}{3(x^2+x+1)}
=-\dfrac{1}{6}\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}
+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^2+x+1}Так какx2+x+1=(x+12)2+34x^2+x+1
=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}то∫x dxx3−1=13ln⁡∣x−1∣−16ln⁡(x2+x+1)+13arctg⁡2x+13+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{x^3-1}
&=\dfrac{1}{3}\ln|x-1|
-\dfrac{1}{6}\ln(x^2+x+1)+\dfrac{1}{\sqrt3}
\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}+C
\end{aligned}На промежутках (−∞,1)(-\infty,1) и (1,+∞)(1,+\infty) постоянная интегрирования выбирается независимо.
Демидович № 1882 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика