Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1910

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^9\,dx}{(x^{10}-2x^5+2)^2}

Ответ:

\dfrac{x^5-2}{10(x^{10}-2x^5+2)}+\dfrac1{10}\arctg(x^5-1)+C

Решение

Положим

t=x^5-1

. Тогда

dt=5x^4\,dx

x^5=t+1

x^{10}-2x^5+2=t^2+1

. Получаем

I=\dfrac15\int\dfrac{t+1}{(1+t^2)^2}\,dt=\dfrac15\int\dfrac{t\,dt}{(1+t^2)^2}+\dfrac15\int\dfrac{dt}{(1+t^2)^2}

Первое слагаемое равно

-\dfrac1{10(1+t^2)}

. Для второго используем тождество

\dfrac1{(1+t^2)^2}=\dfrac12\left(\dfrac{t}{1+t^2}\right)'+\dfrac1{2(1+t^2)}

Таким образом,

I=\dfrac{t-1}{10(1+t^2)}+\dfrac1{10}\arctg t+C=\dfrac{x^5-2}{10(x^{10}-2x^5+2)}+\dfrac1{10}\arctg(x^5-1)+C

Знаменатель исходного интеграла положителен при всех

x\in\mathbb R