Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1877

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1877

∫dx(x+1)(x2+1)\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)(x^2+1)}.
Ответ:12ln⁡∣x+1∣−14ln⁡(x2+1)+12arctg⁡x+C,x≠−1\dfrac12\ln|x+1|-\dfrac14\ln(x^2+1)
+\dfrac12\arctg x+C,
\qquad x\ne-1

Решение

Ищем разложение на простейшие дроби в виде1(x+1)(x2+1)=Ax+1+Bx+Cx2+1\dfrac{1}{(x+1)(x^2+1)}
=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}Умножая на общий знаменатель, получаем1=A(x2+1)+(Bx+C)(x+1)1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1)Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях xx даётA+B=0,B+C=0,A+C=1A+B=0,
\qquad B+C=0,
\qquad A+C=1Из первых двух уравненийB=−A,C=−B=AB=-A,
\qquad
C=-B=AТогда A+C=2A=1A+C=2A=1, поэтому A=C=12A=C=\dfrac12, B=−12B=-\dfrac12. Следовательно,1(x+1)(x2+1)=12(x+1)−x2(x2+1)+12(x2+1)\dfrac{1}{(x+1)(x^2+1)}
=\dfrac{1}{2(x+1)}-\dfrac{x}{2(x^2+1)}
+\dfrac{1}{2(x^2+1)}Интегрируя почленно, получаем∫dx(x+1)(x2+1)=12ln⁡∣x+1∣−14ln⁡(x2+1)+12arctg⁡x+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{(x+1)(x^2+1)}
&=\dfrac12\ln|x+1|-\dfrac14\ln(x^2+1)
+\dfrac12\arctg x+C
\end{aligned}
Демидович № 1877 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика