Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1894

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод Остроградского, найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{(x^2+2x+2)^2}

Ответ:

\dfrac{1}{(x+1)^2+1}+\arctg(x+1)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Поскольку

x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0

область определения есть

\mathbb R

. Сделаем замену

u=x+1, \qquad du=dx

Тогда

x=u-1

x^2+2x+2=u^2+1

Проверим простое разложение, получаемое методом Остроградского:

\dfrac{d}{du}\left(\dfrac{1}{u^2+1}\right) =-\dfrac{2u}{(u^2+1)^2}, \qquad \dfrac{1}{u^2+1} =\dfrac{u^2+1}{(u^2+1)^2}

Складывая эти равенства, получаем

\begin{aligned} \dfrac{u^2-2u+1}{(u^2+1)^2} &=\dfrac{d}{du}\left(\dfrac{1}{u^2+1}\right) +\dfrac{1}{u^2+1}\end{aligned}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{x^2\,dx}{(x^2+2x+2)^2} &=\dfrac{1}{u^2+1}+\arctg u+C=\\ &=\dfrac{1}{(x+1)^2+1}+\arctg(x+1)+C\end{aligned}