Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1904

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1904

∫x dxx8−1\displaystyle\int\frac{x\,dx}{x^8-1}.
Ответ:18ln⁡∣x2−1x2+1∣−14arctg⁡(x2)+C,x≠−1,x≠1\dfrac18\ln \left|\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right|
-\dfrac14\arctg (x^2)+C,
\qquad x\ne-1,\quad x\ne1

Решение

Положим u=x2u=x^2. Тогда du=2x dxdu=2x\,dx, поэтому∫x dxx8−1=12∫duu4−1\int\dfrac{x\,dx}{x^8-1}
=\dfrac12\int\dfrac{du}{u^4-1}Разложим знаменатель:u4−1=(u−1)(u+1)(u2+1)u^4-1=(u-1)(u+1)(u^2+1)Ищем разложение на простейшие дроби в виде1u4−1=Au−1+Bu+1+Cu+Du2+1\dfrac{1}{u^4-1}
=\dfrac{A}{u-1}+\dfrac{B}{u+1}
+\dfrac{Cu+D}{u^2+1}После умножения на общий знаменатель получаем тождество1=A(u+1)(u2+1)+B(u−1)(u2+1)+(Cu+D)(u2−1)\begin{aligned}
1={}&A(u+1)(u^2+1)+B(u-1)(u^2+1) +(Cu+D)(u^2-1)
\end{aligned}Подставим корни линейных множителей:u=1:1=4A⟹A=14u=−1:1=−4B⟹B=−14\begin{aligned}
u=1:\quad &1=4A
\quad\Longrightarrow\quad A=\dfrac14\\
u=-1:\quad &1=-4B
\quad\Longrightarrow\quad B=-\dfrac14
\end{aligned}Сравнение коэффициентов при u3u^3 и u2u^2 даётA+B+C=0⟹C=0,A−B+D=0⟹D=−12A+B+C=0
\quad\Longrightarrow\quad C=0,
\qquad
A-B+D=0
\quad\Longrightarrow\quad D=-\dfrac12Значит,1u4−1=14(u−1)−14(u+1)−12(u2+1)\dfrac{1}{u^4-1}
=\dfrac{1}{4(u-1)}-\dfrac{1}{4(u+1)}
-\dfrac{1}{2(u^2+1)}Интегрируя почленно и возвращаясь к xx, получаем∫x dxx8−1=18ln⁡∣u−1∣−18ln⁡∣u+1∣−14arctg⁡(u)+C==18ln⁡∣x2−1x2+1∣−14arctg⁡(x2)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x\,dx}{x^8-1}
&=\dfrac18\ln |u-1|-\dfrac18\ln |u+1|
-\dfrac14\arctg (u)+C=\\
&=\dfrac18\ln \left|\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right|
-\dfrac14\arctg (x^2)+C
\end{aligned}Формула задаёт первообразную на каждом отдельном промежутке области определения; на разных промежутках постоянная CC может принимать независимые значения.
Демидович № 1904 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика