Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1885

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1885

∫dxx4+x2+1\displaystyle\int\frac{dx}{x^4+x^2+1}.
Ответ:14ln⁡x2+x+1x2−x+1+123(arctg⁡2x+13+arctg⁡2x−13)+C,x∈R\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}
+\dfrac{1}{2\sqrt3}
\left(
\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}
+\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}
\right)+C,
\qquad
x\in\mathbb R

Решение

Знаменатель раскладывается на множители:x4+x2+1=(x2+x+1)(x2−x+1)x^4+x^2+1
=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Оба квадратных трёхчлена положительны при всех x∈Rx\in\mathbb R. Ищем разложение1x4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2−x+1\dfrac{1}{x^4+x^2+1}
=\dfrac{Ax+B}{x^2+x+1}
+\dfrac{Cx+D}{x^2-x+1}После умножения на знаменатель получаем1=(Ax+B)(x2−x+1)+(Cx+D)(x2+x+1)1=(Ax+B)(x^2-x+1)+(Cx+D)(x^2+x+1)Сравнение коэффициентов даётA=12,B=12,C=−12,D=12A=\dfrac{1}{2},
\qquad
B=\dfrac{1}{2},
\qquad
C=-\dfrac{1}{2},
\qquad
D=\dfrac{1}{2}Следовательно,1x4+x2+1=x+12(x2+x+1)+−x+12(x2−x+1)\dfrac{1}{x^4+x^2+1}
=\dfrac{x+1}{2(x^2+x+1)}
+\dfrac{-x+1}{2(x^2-x+1)}Выделим производные знаменателей:x+12(x2+x+1)=142x+1x2+x+1+141x2+x+1−x+12(x2−x+1)=−142x−1x2−x+1+141x2−x+1\begin{aligned}
\dfrac{x+1}{2(x^2+x+1)}
&=\dfrac{1}{4}\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}
+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{x^2+x+1}\\
\dfrac{-x+1}{2(x^2-x+1)}
&=-\dfrac{1}{4}\dfrac{2x-1}{x^2-x+1}
+\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{x^2-x+1}
\end{aligned}Так какx2±x+1=(x±12)2+34x^2\pm x+1
=\left(x\pm\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}то∫dxx4+x2+1=14ln⁡x2+x+1x2−x+1+123(arctg⁡2x+13+arctg⁡2x−13)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x^4+x^2+1}
&=\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}+\dfrac{1}{2\sqrt3}
\left(
\arctg\dfrac{2x+1}{\sqrt3}
+\arctg\dfrac{2x-1}{\sqrt3}
\right)+C
\end{aligned}
Демидович № 1885 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика