Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1889

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1889

∫x2 dxx4+3x3+92x2+3x+1\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{x^4+3x^3+\frac92x^2+3x+1}.
Ответ:25ln⁡x2+2x+2x2+x+12+85arctg⁡(x+1)−25arctg⁡(2x+1)+C,x∈R\dfrac{2}{5}\ln\dfrac{x^2+2x+2}
{x^2+x+\dfrac{1}{2}}
+\dfrac{8}{5}\arctg(x+1)
-\dfrac{2}{5}\arctg(2x+1)+C,
\qquad
x\in\mathbb R

Решение

Разложим знаменатель на два квадратных трёхчлена:x4+3x3+92x2+3x+1=(x2+2x+2)(x2+x+12)x^4+3x^3+\dfrac{9}{2}x^2+3x+1
=(x^2+2x+2)\left(x^2+x+\dfrac{1}{2}\right)Оба множителя положительны при всех x∈Rx\in\mathbb R. Ищем разложениеx2x4+3x3+92x2+3x+1=Ax+Bx2+2x+2+Cx+Dx2+x+12\dfrac{x^2}
{x^4+3x^3+\dfrac{9}{2}x^2+3x+1}
=\dfrac{Ax+B}{x^2+2x+2}
+\dfrac{Cx+D}{x^2+x+\dfrac{1}{2}}Умножая равенство на знаменатель, получаемx2=(Ax+B)(x2+x+12)+(Cx+D)(x2+2x+2)x^2=(Ax+B)\left(x^2+x+\dfrac{1}{2}\right)
+(Cx+D)(x^2+2x+2)После раскрытия скобок сравниваем коэффициенты при степенях xx:{A+C=0A+B+2C+D=1A2+B+2C+2D=0B2+2D=0\begin{cases}
A+C=0\\
A+B+2C+D=1\\
\dfrac{A}{2}+B+2C+2D=0\\
\dfrac{B}{2}+2D=0
\end{cases}Из первого и последнего уравнений имеем C=−AC=-A и B=−4DB=-4D. Два средних уравнения тогда упрощаются:−A−3D=1,−3A2−2D=0-A-3D=1,
\qquad
-\dfrac{3A}{2}-2D=0Из второго D=−3A4D=-\frac{3A}{4}; подстановка в первое даёт 5A4=1\frac{5A}{4}=1. Следовательно, A=45A=\frac45, D=−35D=-\frac35 иA=45,B=125,C=−45,D=−35A=\dfrac{4}{5},
\qquad
B=\dfrac{12}{5},
\qquad
C=-\dfrac{4}{5},
\qquad
D=-\dfrac{3}{5}Следовательно,x2x4+3x3+92x2+3x+1=4x+125(x2+2x+2)+−4x−35(x2+x+12)\begin{aligned}
\dfrac{x^2}
{x^4+3x^3+\dfrac{9}{2}x^2+3x+1}
&=\dfrac{4x+12}{5(x^2+2x+2)}
+\dfrac{-4x-3}{5\left(x^2+x+\dfrac{1}{2}\right)}
\end{aligned}Здесьx2+2x+2=(x+1)2+1,x2+x+12=(x+12)2+14x^2+2x+2=(x+1)^2+1,
\qquad
x^2+x+\dfrac{1}{2}
=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}Выделим в числителях производные знаменателей:4x+125=25(2x+2)+85,−4x−35=−25(2x+1)−15\begin{aligned}
\dfrac{4x+12}{5}
&=\dfrac{2}{5}(2x+2)+\dfrac{8}{5},\\
\dfrac{-4x-3}{5}
&=-\dfrac{2}{5}(2x+1)-\dfrac{1}{5}
\end{aligned}Теперь интегрируем:∫x2 dxx4+3x3+92x2+3x+1=25ln⁡x2+2x+2x2+x+12+85arctg⁡(x+1)−25arctg⁡(2x+1)+C\begin{aligned}
\int\dfrac{x^2\,dx}
{x^4+3x^3+\dfrac{9}{2}x^2+3x+1}
&=\dfrac{2}{5}\ln\dfrac{x^2+2x+2}
{x^2+x+\dfrac{1}{2}}
+\dfrac{8}{5}\arctg(x+1)-\dfrac{2}{5}\arctg(2x+1)+C
\end{aligned}
Демидович № 1889 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика