Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1901

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Выделить алгебраическую часть следующих интегралов:

Найти интеграл

\int\frac{dx}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}.

Ответ:

\dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)} +\dfrac{4}{3\sqrt3} \arctg \left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Знаменатель является полным квадратом:

x^4+2x^3+3x^2+2x+1=(x^2+x+1)^2

Положим

t=x+\dfrac12, \qquad r=\dfrac{\sqrt3}{2}

Тогда

x^2+x+1=t^2+r^2

dt=dx

. Сначала вычислим производную

\left(\dfrac{t}{t^2+r^2}\right)' =\dfrac{r^2-t^2}{(t^2+r^2)^2}

Поэтому

\begin{aligned} &\dfrac{1}{2r^2} \left(\dfrac{t}{t^2+r^2}\right)' +\dfrac{1}{2r^2}\cdot\dfrac{1}{t^2+r^2}=\\ &=\dfrac{r^2-t^2+t^2+r^2} {2r^2(t^2+r^2)^2} =\dfrac{1}{(t^2+r^2)^2}\end{aligned}

Таким образом, справедливо тождество

\dfrac{1}{(t^2+r^2)^2} =\dfrac{1}{2r^2} \left(\dfrac{t}{t^2+r^2}\right)' +\dfrac{1}{2r^2}\cdot\dfrac{1}{t^2+r^2}

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1} &=\dfrac{t}{2r^2(t^2+r^2)} +\dfrac{1}{2r^3}\arctg \left(\dfrac{t}{r}\right)+C=\\ &=\dfrac{2x+1}{3(x^2+x+1)} +\dfrac{4}{3\sqrt3} \arctg \left(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}\right)+C\end{aligned}

Поскольку

x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0

, подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R