Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2

Демидович § 2. Интегрирование рациональных функций

Условия, ответы и подробные решения задач 1866–1925

Задачи 1866–1925

60 из 60 с разбором

Применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

Задача 1916

∫x4−1x(x4−5)(x5−5x+1) dx\displaystyle\int\frac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5-5x+1)}\,dx.

Задача 1917

∫x2+1x4+x2+1 dx\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x^4+x^2+1}\,dx.

Задача 1918

∫x2−1x4+x3+x2+x+1 dx\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}\,dx.

Задача 1919

∫x5−xx8+1 dx\displaystyle\int\frac{x^5-x}{x^8+1}\,dx.

Задача 1920

∫x4+1x6+1 dx\displaystyle\int\frac{x^4+1}{x^6+1}\,dx.

Задача 1921

Вывести рекуррентную формулу для вычисления интегралаIn=∫dx(ax2+bx+c)n(a≠0).I_n=\int\frac{dx}{(ax^2+bx+c)^n}\qquad(a\ne0).Пользуясь этой формулой, вычислитьI3=∫dx(x2+x+1)3.I_3=\int\frac{dx}{(x^2+x+1)^3}.

Задача 1922

Применить подстановку t=x+ax+b\displaystyle t=\frac{x+a}{x+b} для вычисления интегралаI=∫dx(x+a)m(x+b)nI=\int\frac{dx}{(x+a)^m(x+b)^n}(mm и nn --- натуральные числа). Пользуясь этой подстановкой, найти∫dx(x−2)2(x+3)3.\int\frac{dx}{(x-2)^2(x+3)^3}.

Задача 1923

Вычислить∫Pn(x)(x−a)n+1 dx,\int\frac{P_n(x)}{(x-a)^{n+1}}\,dx,если Pn(x)P_n(x) есть многочлен степени nn относительно xx.

Задача 1924

Пусть R(x)=R∗(x2)R(x)=R^*(x^2), где R∗R^* --- рациональная функция. Какими особенностями обладает разложение функции R(x)R(x) на рациональные дроби?

Задача 1925

Вычислить∫dx(1+x)2n,\int\frac{dx}{(1+x)^{2n}},где nn --- целое положительное число.

Задачи 51–60 из 60